吴赣昌编 - 《概率论与数理统计》（经管类三版）第一章和第二章(7)

1?x?1?1?e600,x?0解：设X：电子元件的使用寿命，则X~E( )，所以F(x)??600??0,otherA=“使用到200小时，电子元件损坏”，则P(A)?P{X?200}?F(200)?1?e设Y：三个元件在使用到200小时，损坏的个数，则Y~B(3,1?e所以P(Y?1}?1?P{Y?0}?1?[1?(1?e15、设X~N(?,16),Y~N(,25?)有p1?p2。

?1/3?1/3?1/3

)

)]3?1?e?1

；记p1?P{X???4},p2?P{Y???5}，试证对任意?总

X????1}??(?1)?1??(1), 4Y??p2?P{Y???5}?1?P{Y???5}?1?P{?1}?1??(1)

5证：p1?P{X???4}?P{所以p1?p2.

习题2-5

1、 2、

3、设X~U[a,b]，求Y?cX?d的密度函数（以c>0为例）

?1,a?x?b?解：因为X~U[a,b]，所以f(x)??b?a

??0,other设Y的分布函数为FY(y)

y?d（1）当x?a时，有y?ac?d，即?a，此时

cy?dy?dFY(y)?P{Y?y}?P{aX?d?y}?P{X?}??c0dx?0

??cy?d（2）当a?x?b时，有ac?d?y?bc?d，即a??b，此时

cy?dy?day?d1FY(y)?P{cX?d?y}?P{X?}??cf(x)dx??0dx??cdx

????acb?a1y?d?[?a] b?acy?d（3）当x?b时，有y?bc?d，即?b，此时

cy?dy?daby?d1cFY(y)?P{X?}??f(x)dx??0dx??dx??c0dx?1

????ab?abc 31

?1,ac?d?y?bc?d?所以可得fY(y)?FY?(y)??c(b?a)

?0,other?同样可讨论c<0时的情形 解法2：利用定理求解

因为Y?cX?d是严格单调函数，所以x?h(y)?又当a?x?b时，有ac?d?y?bc?d

y?d1，h?(y)?； cc1?1?,ca?d?y?cb?d,?所以fY(y)?fX(h(y))|h?(y)|??b?a|c|

?0,other.?

4、X~U[?1,1]，求Y?e的概率密度fY(y) 解：因为X~U[?1,1]，所以f(x)??X?1/2,?1?x?1

?0,other?1设Y的分布函数为FY(y)，则当?1?x?1时，e?y?e

?0,y?e?1?X?1所以FY(y)?P(Y?y)?P(e?y)??P(X?lny),e?y?e

?1,y?e??0,y?e?1?lnylny11????f(x)dx??dx?(lny?1),e?1?y?e

???122?y?e??1,?1?1?,e?y?e?所以fY(y)?FY(y)??2y

?0,other?

5、设X～N（0，1） （1）求Y=eX的概率密度 解：∵ X的概率密度是f(x)?1e2π?x22,???x???

Y= g (X)=eX 是单调增函数 又 X= h (Y ) = lnY 反函数存在 且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=0 β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y的分布密度为：

(lny)2???f[h(y)]?|h'(y)|?1e2?1ψ(y)??y2π?0?0?y??? y为其他（2）求Y=2X2+1的概率密度。

32

在这里，Y=2X2+1在(+∞，－∞)不是单调函数，没有一般的结论可用。 设Y的分布函数是FY（y）， 则 FY ( y)=P (Y≤y)=P (2X2+1≤y)

? =P????当y<1时：FY ( y)=0

y?1?X?2y?12?? ???当y≥1时：Fy(y)?P????y?1?X?2y?1???2???y?12?y?12?1e2πx22dx

故Y的分布密度ψ( y)是：

当y≤1时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0

?当y>1时，ψ( y)= [FY ( y)]' =?????y?12y?1212?e?x22??dx? ???1e =

2π(y?1)y?14

（3）求Y=| X |的概率密度。

∵ Y的分布函数为 FY ( y)=P (Y≤y )=P ( | X |≤y) 当y<0时，FY ( y)=0

当y≥0时，FY ( y)=P (| X |≤y )=P (－y≤X≤y)=∴ Y的概率密度为：

当y≤0时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0

?y?y?1e2πx22dx

?当y>0时：ψ( y)= [FY ( y)]' =???

?y?y12πx2?e2?y2??2dx??e2 ?π?6、设X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，求下列函数的概率密度 （1）Y?1/X；（2）Y?tanX；（3）Y?|X|

解：(1) FY(y)?P(Y?y)?P(当y?0时，

1?y) X11?y??X?0，所以 Xy111?y)?P{?X?0}?F(0)?F() XyyFY(y)?P(Y?y)?P(1111fY(y)?FY?(y)?[F(0)?F()]??F?(0)?F?()?f()2

yyyy

33

当y?0时，

11?y?{X?0}?{0?X?}，所以 Xy11?y)?P[{X?0}?{X?}] XyFY(y)?P(Y?y)?P(11?P{X?0}?P{X?}]?F(0)?1?F()

yy1111fY(y)?FY?(y)?[F(0)?1?F()]???F?()?f()2

yyyy当y=0时，FY(y)?P(Y?y)?P(1?y)?P{X?0}?F(0)， XfY(y)?FY?(y)?[F(0)]??0

?11?f()2,y?0所以fY(y)?FY?(y)??yy

?0,y?0?（2）FY(y)?P(Y?y)?P(tanX?y)?P{?k?????(k????2?X?k??arctany)}

??P{k??????X?k??arctany}??[F(k??arctany)?F(k??)] 22???所以fY(y)?FY?(y)?1?? F(k??arctany)?F(k??)?f(k??arctany)???221?y???????（3）当y?0时，FY(y)?P(Y?y)?P(|X|?y)?P{?}?0，所以fY(y)?FY?(y)?0 当y?0时，FY(y)?P(Y?y)?P(|X|?y)?P{?y?X?y}?F(y)?F(?y) 所以fY(y)?FY?(y)?[F(y)?F(?y)]??f(y)?f(?y)

7、某物体的温度T (oF )是一个随机变量，且有T～N（98.6，2），试求θ(℃)的概率密度。[已知

θ?5(T?32)] 9解：法一：∵ T的概率密度为f(t)?12?2e?(t?98.6)22?2,???t???

又 θ?g(T)? T?h(θ)?5(T?32) 是单调增函数。 99θ?32 反函数存在。 5 且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(－∞, +∞)=－∞

34

β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(－∞, +∞)= +∞

∴ θ的概率密度ψ(θ)为

ψ(θ)?f[h(θ)]?|h'(θ)|?12π29e10π?9(θ?32?98.6)2?54e?9 5 ?81(θ?37)2100,???θ???

法二：根据定理：若X～N（α1， σ1），则Y=aX+b～N (aα1+b, a2 σ2 ) 由于T～N（98.6, 2）

2?5??333?5?2?5160160?5?~N??98.6?,???2??N?,???2? 故 θ?T?999?9??????9??9?9??故θ的概率密度为：

?333?????9???22?(?)?1e52?29?5?2????2?9??910?e?81(??37)2100,???????

总复习题

1、从1-20的整数中取一个数，若取到整数k的概率与k 成正比，求取到偶数的概率。 解：设X=“从1-20的整数中取到的数”，则由题意P{X?k}?ck（c待定）

而

?P{X?k}?1，所以?ck?1，得到ck?1k?1202020(1?20)1 ?1?c?2210所以P{X?k}?1k 210设A=“取到偶数”，则P(A)??P{X?2n}??n?1102n111 ?(2?4?...?20)?21021021n?1102、如果每次射击中靶的概率为0.7，求射击10炮，

（1）命中3炮的概率；（2）至少命中3炮的概率；（3）最有可能命中几炮

解：设10炮中命中的炮数为X，则X~B(10,0.7)

337（1）P{X?3}?C100.70.3

（2）P{X?3}?1?P{X?3}?1??Ck?02k100.7k0.310?k

（3）由于（10+1）*0.7=7.7，不是整数，所以最有可能命中7炮。

3、（用泊松逼近近似计算实际应用的题目）在保险公司内有2500名同年龄段和同社会阶层的人参

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