吴赣昌编 - 《概率论与数理统计》（经管类三版）第一章和第二章(10)

?1?e?x,x?0因为X~E(1)。所以F(x)??，

1,other?所以P{X?2}?1?F(2)?e,P{X?2}?1?e，

由于S?{X?2}?{X?2}?A?{A(X?2)}?{A(X?2)}，所以

?2?2P(A)?P[A(X?2)]?P[A(X?2)]?P[X?2]P(A|X?2)?P[X?2]P(A|X?2)

由题意知P(A|X?2)?1，P(A|X?2)?0.8，所以

P(A)?P[X?2]P(A|X?2)?P[X?2]P(A|X?2)?e?2?0.8*(1?e?2)?0.827

设Y：n设备能够出厂的台数，则Y~B(n,0.827) （1）P{Y?n} （2）P{Y?n?2} （3）P{Y?n?2}

ln(1?X)~E(2) 2?1,0?x?1证明：因为X~U(0,1)，所以f(x)??

0,other?ln(1?X)FY(y)?P(Y?y)?P(??y)?P{X?1?e?2y}

214、设X~U(0,1)，求证Y??显然有：（1）当1?e（2）当0?1?e?2y?2y?0,即y?0时，FY(y)?P{X?1?e1?e?2y1?e?2y?2y}??1?e?2y??0dx?0

?1,即y?0时，

?2yFY(y)?P{X?1?e}????f(x)dx??01dx?1?e?2y

?1?e?2y,y?0ln(1?X)所以有FY(y)??，所以Y??~E(2)

20,other?115、设X~U(0,1)，求Y?的概率密度

1?X?1,0?x?1解：因为X~U(0,1)，所以f(x)??

0,other?1111因为Y?是单调递减的，且x?h(y)??1,h?(y)??2，当0?x?1时，?y?1。

yy1?X2??11?111?||,?y?1??,?y?1y22??y22所以fY(y)?? ?0,other?0,other??

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16、设随机变量X在任意区间【a，b】上的概率均大于0，其分布函数为FX(x)，又Y~U[0,1]，

?1证明：Z?FX(y)的分布函数与X的分布函数相同。

证：因为随机变量X在任意区间【a，b】上的概率均大于0，其分布函数为FX(x)?P{X?x}是单调递增的，所以其反函数肯定存在。

?0,y?0?由于Y~U[0,1]，所以FY(y)??y,0?y?1，

?1,y?1?Z的分布函数为

?0,FX(z)?0?FZ(z)?P{Z?z}?P{FX?1(Y)?z}?P{Y?FX(z)}?FY(FX(z))??FX(z),0?FX(z)?1

?1,F(z)?1?X而0?FX(z)?不可能小于0或大于1，因此FZ(z)?FX(z)

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