吴赣昌编 - 《概率论与数理统计》（经管类三版）第一章和第二章

吴赣昌编 《概率论与数理统计》（经管类三版）复习提要及课后习题解答

复习提要

考试要求

1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算. 2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式. 3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法.

一、古典概型与几何概型

1．随机试验，样本空间与事件.

2．古典概型：设样本空间?为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则 P(A)?A中有利事件数

基本事件总数3．几何概型：设?为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，则

P(A)?A的度量（长度、面积、体积）Ω的度量（长度、面积、体积）

二 事件的关系与概率的性质

1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有：

（1） A与B互斥（互不相容） ? AB??

（2） A与B 互逆（对立事件） ? AB??,A?B?? （3） A与B相互独立? P（AB）=P（A）P（B）.

? P（B|A）=P（B） （P（A）>0）.

?P(B|A)?P(B|A)?1 （0

注: 若（00）

? P(A|B)?P(A|B)?1（0

（4） A, B, C两两独立 ? P（AB）=P（A）P（B）;

P（BC）=P（B）P（C）; P（AC）=P（A）P（C）.

（5） A, B, C相互独立 ? P（AB）=P（A）P（B）;

P（BC）=P（B）P（C）; P（AC）=P（A）P（C）;

P（ABC）=P（A）P（B）P（C）.

1

2. 重要公式

（1） P(A)?1?P(A) （2） （3）

P(A?B)?P(A)?P(AB) P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)

（4） 若A1, A2,…,An两两互斥, 则P(?Ai?1ni)??P(Ai).

i?1n（5） 若A1,A2, …, An相互独立, 则 P(?A)?1??P(A)?1??[1?P(A)].

iinnnii?1i?1i?1P(?Ai)??P(Ai).

i?1i?1nn（6） 条件概率公式: P(B|A)?P(AB) （P（A）>0） P(A)三、乘法公式，全概率公式，Bayes公式与二项概率公式

1． 乘法公式：

P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A2)P(A1|A2).P(A1A2?An)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)?P(An|A1A2?An?1).2． 全概率公式：

P(B)??P(B|Ai)P(Ai),　AiAj??,i?j,　　?Ai??.

i?1i?1??3．Bayes公式：

P(Aj|B)?P(B|Aj)P(Aj)?P(B|A)P(A)iii?1?,　AiAj??,i?j,　　?Ai??.

i?1?4．二项概率公式:

kkPn(k)?CnP(1?P)n?k,　k?0,1,2,?,n.,

2

课后习题解答

习题1－2

4、设A,B,C是三个事件，且P(A)?P(B)?P(C)?,P(AC)?P(BC)?1/16，P(AB)?0，求

14A,B,C全不发生的概率。 解 P(ABC)?1?P(?A?BC)?1?[P(?A)P(?B)P(?C)因为 0?P(ABC)?P(AB)?，所以0P(ABC)?0，于是

323 P(ABC)?1?P(A?B?C)?1?[?]?

4168P(?AB)P(?AC)(P?B)C (PAB)]C5、设A，B是两事件且P (A)=0.6，P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最大值，最大值是多

少？（2）在什么条件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？

解：由P (A) = 0.6，P (B) = 0.7即知AB≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1与P (A∪B)≤1矛盾）.

从而由加法定理得

P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B) (*)

（1）从0≤P(AB)≤P(A)知，当AB=A，即AB时P(AB)取到最大值，最大值为 P(AB)=P(A)=0.6，

（2）从(*)式知，当A∪B=S时，P(AB)取最小值，最小值为 P(AB)=0.6+0.7－1=0.3 。

习题1－3

1、袋中5个白球，3个黑球，一次取两个 （1）求取到的两个球颜色不同的概率；（2）求取到的两个球中有黑球的概率；（3）求取到的两个球颜色相同的概率

解：（1）设A表示“取到的两个球颜色不同”，

11C5C3? 则P(A)?2C8（2）设Ai表示“取到i个黑球”（i＝1，2），A表示“两个球中有黑球”，则

（3）设A表示“取到的两个球颜色不同”，B表示“取到两个白球”，C表示“取到两个黑球”，则

C52C32P(B)?2,P(C)?2C8C8∩，且

A??,B??C，

23B所C以

P(?A)?P(11C5CC3P(BA)?P(A1)?PP(A2)?C2?2?9/14

C8C82、10把钥匙有3把能打开门，今取两把，求能打开门的概率。 解:设A=“能打开”，则nS?C10

法一，取出的两把钥匙，可能只有一把能打开，可能两把都能打开，则nA?C3C7?C3

1122 3

所以P(A)?nA nS2法二，A={都打不开}，即取得两把钥匙是从另7把中取得的，则nA?C7，所以

C72P(A)?1?P(A)?1?2

C103、两封信投入四个信筒，求（1）前两个信筒没有信的概率，（2）第一个信筒内只有一封信的概率。 解：nS?4（两封信投入四个信筒的总的方法，重复排列）

（1）设A=“前两个信筒没有信”，即两封信在余下的两个信筒中重复排列，nA?2；

（2）设B=“第一个信筒内只有一封信”，则应从两封信中选一封放在第一个信筒中，再把余下的一封信放入余下的三个信筒中的任一个，nB?C23

带入公式既得两个概率。

4、一副扑克牌52张，不放回抽样，每次1张，连抽4张，求四张花色各异的概率。 解：设A表示“四张花色各异”，则

14(C13)P(A)?4A521122

5、袋中有红、黄、黑色球各1个，有放回取3次，求下列事件的概率： A＝“三次都是红球”，B＝“三次未取到黑球”，C＝“颜色全不相同”，D＝“颜色不全相同” 解：ns?3?27（重复排列）

3nA?1；nB?23（每次都是从红或黄中任意取1个）；nC?A3（全排列，第一次取是从三种球中

3任取1个，第二次取是从余下的两个颜色球中任取1个，最后一次只有一种色）；

D的对立事件是“三个球的颜色全相同”等于“三个全红”或“全黑”或“全黄”，且这三者的概率相同都等于P(A)，所以P(D)?1?P(D)?1?3P(A)?1?3248??. 272796、从0,1,2,?,9等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：A1?‘三个数字中不含0和5’，A2?‘三个数字中不含0或5’，A3?‘三个数字中含0但不含5’.

33C83C9C9C83147 解 P(A1)?3?. P(A2)?3?3?3?，

C1015C10C10C10151C8C82147或 P(A2)?1?P(A2)?1?3?， P(A3)?3?.

C1015C10307、从一副52张的牌中不重复任取3张，求取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。 解：设A＝“取出的3张牌中至少有2张花色相同”，则A?“3张牌中没有同花色的”

3111C4C13C13C13所以P(A)?1?P(A)?1?

?0.602。

4

另解：设A＝“取出的3张牌中至少有2张花色相同”，则A等价于“三张花色都相同”（Ｂ）或“有

13121C4C13C4C13C39P(C)?两张花色相同”（Ｃ），则P(B)?，，所以P(A)?P(B)?P(C) 33C52C528、10个人中有一对夫妇，他们随意坐在一张圆桌周围，求该对夫妇正好坐在一起的概率。

解：设 …… 此处隐藏：2509字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……