吴赣昌编 - 《概率论与数理统计》（经管类三版）第一章和第二章(8)

加人寿保险，在1年内每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日交120元保险费，而在死亡时家属可从保险公司中领取20000元的赔偿金。求 （1）保险公司亏本的概率

（2）保险公司获利分别不少于100000，200000元的概率

解：设1年内死亡的人数为X，保险公司获利为Y元 则X~B(2500,0.002)；Y?2500?120?20000X?30?2X（保险公司获利Y万元） （1）P（保险公司亏本）=

P{Y?0}?P{30?2X?0}?P{X?15}?1?P{X?15}?1??Ck?015k25000.0020.99810k2500?k（2） 5k?5?1??e?0.000069(??5)k?0k!15P{Y?10}?P{30?2X?10}?P{X?10}??Ck?0k25000.0020.998k2500?k5k?5??e?0.9803(??5)k?0k!10P{Y?20}?P{30?2X?20}?P{X?5}??Ck?05k25000.0020.998k2500?k5k?5??e?0.6159(??5) k?0k!54、一台总机有300台分机，总机有13条外线，假设每台分机向总机要外线的概率为0.03，求每台分机向总机要外线时，能及时得到满足的概率和同时向总机要外线的最有可能台数。

解：设X：300台分机同时向总机要外线的台数，则X~B(300,0.03)

则“每台分机向总机要外线时，能及时得到满足”等价于要外线的台数不多于13台， 所以P{X?13}??Ck?013k3000.030.97k300?k9k?9??e?0.9265(??9) k?0k!13（2）[(300+1)*0.03]=9

5、在长度为t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼叫的次数服从参数为间起点无关，求：

（1）某一天从中午12点至下午3点没有收到紧急呼叫的概率 （2）某一天从中午12点至下午5点至少收到一次紧急呼叫的概率

解：（1）设X：从中午12点至下午3点收到紧急呼叫的次数，则X~P() 所求概率为P{X?0}

（2）设Y：从中午12点至下午5点收到紧急呼叫的次数，则Y~P() 所求概率为P{Y?1}?1?P{Y?0}

6、 7、

8、使用了x小时的电子管，在以后的?x小时内损坏的概率为??x?o(?x)，求电子管在损坏前已使用时数X的分布函数F(x)，并求电子管在T小时内损坏的概率。

36

t的泊松分布，而与时23252解： 9、

10、某城市饮水的日消费量X（单位百万升）是随机变量，其密度函数为

?xe?x/3,x?0? f(x)??9?0,other?求：（1）日消费量不低于600万升的概率

（2）日消费量介于600万升到900万升的概率。 解：（1）P{X?600}?1?P{X?600}?1??6000xe?x/3dx 9（2）P{600?X??}?11、 12、 13、

?900600xe?x/3dx 914、设X具有关于y轴对称的密度函数f(x)，即f(?x)?f(x)，分布函数为F(x)，证明，对于任意a?0，有

a1（1）F(?a)?1?F(a)???f(x)dx；（2）P{|X|?a}?2F(a)?1；

20（2）P{|X|?a}?2[1?F(a)] 证：（1）F(?a)?P{X??a}???a??f(x)dx令x??t?f(?x)d(?x)???f(x)dx

??aa????af(x)d(x)?P{X?a}?1?P{X?a}?1?F(a)

而F(a)?P{X?a}??a??f(x)dx??0??f(x)dx??a0a1f(x)dx???f(x)dx

20所以F(?a)?1?F(a)?a1??f(x)dx 20（2）P{|X|?a}?P{?a?x?a}?F(a)?F(?a)?2F(a)?1 （3）P{|X|?a}?1?P{|X|?a}?2[1?F(a)]

15、设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程4x2?4xK?K?2?0有实根的概率

1?? 解： ∵ K的分布密度为：f(K)??5?0??00?K?5其他

要方程有根，就是要K满足(4K)2－4×4× (K+2)≥0。

解不等式，得K≥2时，方程有实根。 ∴

P(K?2)????2f(x)dx??51dx?25???50dx?37

3 5 16、某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名。假设报名者的考试成绩X~N(?,?)，已知90分以上的12人，60分以下的83分，按照从高分到低分依次录取，某人的成绩为78分，问此人能被录取的概率。

解：本题应首先确定正态分布中的两个参数，由于报名人数较多，所以可用频率近似代替概率。 由题意;

2P{X?90}?1290??90??90???1??()?0.0228??()?0.9772??2 526???8360????6060??P{X?60}???()?0.1588??()?1??()?0.9442

526?????60??0.1

?由以上两式可解得??70,??10，所以X~N(70,10) 再确定此人能否被人录取，关键看录取率，而录取率为

2155?0.2947，有两种方法 526法一：如果成绩高于78分的概率大于录取率，则此人不能被录取，

P{X?78}?1??(78?70)?1??(0.8)?0.2119，因为0.2119<0.2947，即高于78分的概率小于录10取率，所以此人能被录取。

法二：看录取的分数线，假设录取的分数线为n，因为录取率为0.2947， 所以P{X?n}?0.2947?1??(n?70n?70)?0.2947??0.54?n?75，即录取线为75分，1010所以此人能被录取

17、某地在任何长为t的时间间隔内发生地震的次数N(t)服从参数为?t?0.1t的泊松分布。X表示相继两次地震之间相隔的年数。

（1）求相继两次故障之间时间间隔X的概率分布；（2）求该地已经无地震8年的情况下，再无地震8年的概率。（3）求今后3年内再次发生地震的概率。（4）求今后3年到5年内再次发生地震的概率。

解 （1）设X的分布函数为FX(t)，则 FX(t)?P(X?t)?1?P(X?t)

事件(X?t)表示两次地震的间隔时间超过t，也就是说在时间t内没有发生地震，故N(t)?0，于是

(?t)0??tFX(t)?1?P(X?t)?1?P(N(t)?0)?1?e?1?e??t,t?0，

0!可见，X的分布函数为

?1?e??t,t?0, FX(t)??

?0,t?0.即T服从参数为?的指数分布。

（2）所求概率为

P{T?16,T?8}P(T?16)e?16?P(T?16|T?8)????8??e?8?（无记忆性）

P(T?8)P(?8)e（3）P{X?3}?F(3)?1?e?3?

?3?（4）P{3?X?5}?F(5)?F(3)?e

?e?5?

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以上只需将??0.1带入计算即可。

18、100件产品中，90个一等品，10个二等品。随机取两个安装在一台设备上，若在一台设备中安装了i个（i=0，1，2）二等品，则此设备的使用寿命服从参数为??i?1的指数分布。 （1）求设备的寿命超过1的概率

（2）已知设备的寿命超过1，求安装在设备上的两个零件都是一等品的概率。

解：设Y={在一台设备中安装二等品的个数

2112C90C90C10C10,P(Y?2)?2 则P(Y?0)?2,P(Y?1)?2C100C100C100设Xi=“设备安装i件二等品时的寿命” ，则Xi~E(1?i)，即有

?1?e?2x,x?0?1?e?x,x?0?1?e?3x,x?0FX0(x)??，FX1(x)??，FX2(x)??

?0,other?0,other?0,other则P{Xi?1}?1?P{Xi?1}?1?FXi(1)?e过1的概率），可记为P{(Xi?1)|(Y?i)}

（1）设X：设备的寿命。则设备的寿命超过1等价于“设备安装0件二等品且其寿命超过1”或“设

备安装1件二等品且其寿命超过1”或“设备安装2件二等品且其寿命超过1” 则{X?1}?{(Y?0)(X0?1)}?{(Y?1)(X1?1)}?{(Y?2)(X2?1)}

?(1?i),(i?0,1,2)（已知设备安装i件二等品，设备的寿命超

P{X?1}?P{(Y?0)(X0?1)}?P{(Y?1)(X1?1)}?P{(Y?2)(X2?1)}

?P{Y?0}P{X0?1|Y?0}?P{Y?1}P{X1?1|Y?1}?P{Y?2}P{X2?1|Y?2}?0.32

（2）P{Y?0|X?1}?P{Y?0,X?1}?0.93

P{X?1}1，

3

19. 设随机变量X的分布律为：

X：－2， －1， 0，

P：

1， 5

111， ， ， 6515 (－1)2

(0)2

11 30(1)2

(3)2

求Y=X 2的分布律

解：∵ Y=X 2：(－2)2

P：

1 5111 651511 30再把X 2的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数Y的分布律为： ∴ Y： 0 1 4 9

P：

1111 ?6155511 30

20

21. 设 …… 此处隐藏：2739字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……