概率统计试题库及答案 - 图文(9)

22,H1：?12??2解：检验H0：?12??2 S12采用F检验，选用统计量为 F?2~F?5,5?… S2S12由已知条件得F?2?S266?166?1?0.07866?1.1079 ?0.0710011??0.1399 F??5,5?7.152临界值为F??5,5??F0.025?5,5??7.15, F1???5,5??22显然F1???5,5??F?F??5,5?，故接受H0 2215、有一种新安眠药，据说在一定剂量下能比某种旧安眠药平均增加睡眠时间3小时。根据资料用某种旧安眠药的平均睡眠时间为20.8小时，样本标准差为1.8小时，为了检验新安眠药的这种说法是否正确，收集到一组使用新安眠药的睡眠时间（以小时为单位）为： 26.7, 22.0, 24.1, 21.0, 27.2, 25.0, 23.4 假设新旧安眠药的睡眠时间都服从正态分布，试问这组数据能否说明新安眠药已达到新的疗效？（取显著性水平?=0.1） 解：（1）H0:???0?23.8，H1:??23.8 样本平均值X?24.2，样本方差S2?5.27，因此 t?X??0S2n?24.2?23.85.277?0.461 取?=0.1，自由度n-1=6，查t分布表得 t1???n?1??t0.9?6??1.4398 因为t??t1???6?，所以接受H0，即认为新安眠药已达到了新的疗效。 （2）先检验新旧安眠药的睡眠时间的方差是否一致，即检验假设 22H0:?2??0?1.82，H1:?2??0 用?2检验 ?2?n?1?S2??2?6?5.27?9.76 21.8取?=0.1，自由度n-1=6，查?2分布表得 ?02.05?6??1.635，?02.95?6??12.592 2222??0因为?0.05?6???.95?6?，所以接受H0，即认为Y方差亦为1.8。 接下来就可采用u检验法检验（1）中的假设 24.2?23.8u?7?0.588 1.8取?=0.1，查标准正态分布表得u0.99?2.33， 因为u??u0.99，所以接受H0，即认为新安眠药已达到了新的疗效。 2?5000（小时2）的正态分布，现又生产一批这种电池，从生产情况看，其寿命的16、某厂生产的电池，其寿命服从方差?0波动性有所改变，为检验这个问题，随机抽取26只电池，测得样本方差为S2?9000（小时2），试推断这批电池的寿命波动性是否比以往明显增大？(取显著性水平?=0.01) 22?5000，H1:?2??0解:H0:?2??0 ?n?1?S2??22?0??26?1??9000?45 500041

取?=0.01，自由度n-1=25，查?2分布表得 ?12???n?1???02.99?25??44.314 2因为?2?46??0.99?25?，所以拒绝H0，接受H1，即认为电池寿命波动性明显增大。 17、有甲、乙两台机床，加工同样产品，从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干产品，测得产品的直径为（单位：mm）： 甲 20.5 19.8 19.7 20.4 20.1 20.0 19.6 19.9 乙 19.7 20.8 20.5 19.8 19.4 20.6 19.2 试比较甲乙两台机床的加工精度有无显著差异？(取显著性水平?=0.05) 2? 解:设甲产品的直径X~N??1,?12?，乙产品的直径Y~N??2,?222H0:?12??2， H1:?12??2 经计算 1617x??xi?20，y??yi?20 6i?17i?11716222S???xi?x??0.1029，S2???yi?y??0.3967 5i?16i?121F?S12S22?0.2594，取?=0.05，查F分布表得 1F1?F??7,6??F0.975?7,6??5.7，F??7,6??1?22?2?6,7??0.1953， 因为F0.025?7,6??F?F0.975?7,6?，所以接受H0，即认为两台机床的加工精度无显著差异。 18、由累计资料知，甲、乙两煤矿的含灰率分别服从N??1,7.5?及N??2,2.6?，现从两矿各抽取几个试件，分析其含灰率为 甲矿： 24.3 20.8 23.7 21.3 17.4 （%） 乙矿： 18.2 16.9 20.2 16.7 （%） 问甲、以两矿所采煤的含灰率的数学期望?1、?2有无显著差异？（取显著性水平?=0.1） 解:H0:?1??2，H1:?1??2 经计算 1514X??xi?21.5，Y??yi?18 5i?14i?1u?X?Y???n1n22122?21.5?187.52.6?54?2.39， 取?=0.10，查标准正态分布表得，u1??2?u0.95?1.64 因为u?2.39?u0.95，所以拒绝H0，即认为?1和?2有显著差异。 三．证明题 1、设随机变量X分布函数是P(X?x)?FX(x)，试证明X的函数Y?FX(X)服从均匀分布U(0,1)。 证：FY(y)?P(Y?y)?P(FX(X)?y)，由于分布函数y?FX(x)是x的单调非减函数，且满足0?FX(x)?1，因此当y<0时{FX(X)?y}??，故P(FX(X)?y)?0；当y>1时{FX(X)?y}?S，故P(FX(X)?y)?1；当0≤y≤1时，由于单调性有P(FX(X)?y)?P(X?FX?1(y))?FX(FX?1(y))?y。于是Y?FX(X)的分布函数为： 42

y?0?0?FY(y)??y0?y?1 ?1y?1? 对y求导得： ?10?y?1 fY(y)??其它?0因此Y?FX(X)服从均匀分布U(0,1)。 2、设F1(x)、F2(x)都是分布函数，又a?0,b?0是两个常数，且a?b?1，证明F(x)?aF1(x)?bF2(x)是分布函数。 证：①0?F(x)?aF1(x)?bF2(x)?a?b?1 x???limF(x)?lim[aF1(x)?bF2(x)]?a?0?b?0?0 x???x???limF(x)?lim[aF1(x)?bF2(x)]?a?1?b?1?1 x???②?x1?x2时,因为F1(x1)?F1(x2)，F2(x1)?F2(x2)，故有F(x1)?aF1(x1)?bF2(x1)?aF1(x2)?bF2(x2)?F(x2) ③由于F1(x)、F2(x)都是右连续，所以F(x)?aF1(x)?bF2(x)也是右连续。 所以F(x)?aF1(x)?bF2(x)是分布函数。 3、设X1,X2,?为独立同分布序列，且Xi(i?1,2,?)服从参数为?的指数分布，证明对任意实数x,limP{n???X?ni?1ni?n?x}??(x)。 证：E(Xi)?1??,D(Xi)?1?2,(i?1,2,?) limP{n??X?ni?1ni?n?x}?limP{n????Xi?ni?1nnni?x} ?limP{i?1n???Xnni?1n??x}?limP{i?1n???Xn?E(?Xi)i?1n?x}??(x) ?2D(?Xi)i?12Xn?1?X1n1n22Y?(X?X)4、设X1,X2,?,Xn,Xn?1是来自正态总体N(?,?)的样本，X??Xi，S?，则统计量?iSni?1n?1i?1n n?1服从t(n-1)分布。 证：Xn?1?X~N(0,Xn?1?Xn?12?)，~N(0,1)， n?(n?1)/n(n?1)S22~?(n?1) 又2?Xn?1?X由t分布定义得?(n?1)/n(n?1)S?22~t(n?1)， (n?1)即 Xn?1?XSn~t(n?1) n?143

5、设X1,X2,?,Xm和Y1,Y2,?,Yn分别是来自正态总体N??1,?2?和N??2,?2?的样本，?和?是两个实数，证明随机变量Z???X??1????Y??2?2mS12?nS2m?n?2?2?2?mn1m1n1m22的概率分布为Z~t?m?n?2?，其中X??Xi，Y??Yi，S1???Xi?X?，ni?1mi?1mi?11n2S???Yi?Y?。 ni?122证：由正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理知 2??nS2?2??2?mS1222X~N???2,n??，?2~??m?1?，?2~??n?1? ??1,m??，Y~N?????2??2?2?2?2?mS12?nS22??m?n?2? ~?得??X??1????Y??2?~N?，0,?2???mn??由t分布的定义知，Z~t?m?n?2? 6、设X1,X2,?,Xn是来自总体X~N(?,?2)的样本，证明 ?22?42E(XS)?(??)(??4) nn?1?22? 证：X,S2独立??X?,S2独立，故 22??E(XS2)2?E(X)2E(S2)2?D(X)?[E(X)]2D(S2)?[E(S2)]2 ???????????22?42?(??)(??4) nn?11n21n2???Xi，??2?(Xi?X)2 7、已知(X1,X2,?,Xn)是来自正态总体N(0,?)的一个样本，其中?未知．设??ni?1n?1i?122212?12和??2（1）证明?都是?2的无偏估计； 2?12比??2（2）证明?有效。 证明：（1）因为样本X1,X2,?,Xn相互独立，且与总体N(0,?2)同分布，所以2XX1X2,,?,n也相互独立，且都服从标准正???态分布．由?分布的定义，知 1?2n?Xi?1n2i~?2(n) 1n2?2?1?)?E(?Xi)?则E(?E?ni?1n??2211n??22222?1是?的无偏估计．另外??2?(Xi?X)2X???n??，所以???n?1i?1i?1?n2i就是样本方差，它也是总体方差?2的无偏估计。 （2）比较两个无偏估计的有效性，要计算它们的方差，有 ??211n2?)?D(?Xi)?D?D(??n?2ni?1?21??4?42?42X????n2D[?(n)]?n2?2n?n i?1?n2i??2(n?1)S2??1n2?2?)?D?D(?(Xi?X)??D(S)?D???? 2n?1n?1?i?1????222?4 ?D?(n?1)??2(n?1)?22n?1(n?1)(n?1)?4?2??4比较大小，有 44

2?42?42?)??2D(???D(?) nn?1212?12比??2故?有效 1n8、设X1,X2,?,Xn是来自正态总体N(?,?)的一个样本，其中?已知．证明：估计量S??(Xi??)2是?2的无偏估计量。 ni?122n证: 1n1n1n22ES?E(?(Xi??)?E(?(Xi??)?E(?(Xi2?2Xi???2)ni?1ni?1ni?12n?1(EXi2??2)??2?ni?12nn 1n所以估计量S??(Xi??)2是?2的无偏估计量。 ni?1 9、设X1,X2,?,Xn为总体X的一个样本，记?为总体均值，?i(i …… 此处隐藏：3100字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……