概率统计试题库及答案 - 图文(7)

（四） 1、设是X1,X2,?,Xn来自参数为?的泊松分布总体的一个样本，试求?的最大似然估计量和矩估计量。 解：总体的分布律为：P?X?k???ke?xk!,k?0,1,? 样本X1,X2,?,Xn的似然函数为： L?????i?1n?xe??ixi!=??xii?1ne?n?xi!n?i?1n lnL?????xiln??n???lnxi! i?1i?1ndlnL????令 d??xi?1ni??n?0 ?1n解得?的极大似然估计 ???xi?x. ni?1又因为E?X???. 所以?的矩估计为：??x ???x??10?x?12、 设总体X的概率密度为f(x)??，其中??0为参数，X1，X2,?Xn是总体的一个样本，试求参数?的矩,其它?0估计值和极大似然估计值。 解：（1）矩估计法：u1?E(X)??x?x??1dx?01???1 ?用A1?X代替u1，即X????1，得矩估计量??X 1?X（2）极大似然估计法：似然函数L(?)??n(x1x2?xn)??1 (1x2?xn) lnL(?)?ln?n(x1x2?xn)??1?nln??(??1)lnx dnlnL(?)??lnx(1x2?xn)?0 d??? 解得极大似然估计值为????n ln(x1x2?xn)n ln(X1X2?Xn) 所以极大似然估计量为??? 3、设总体X具有分布律： X 1 2 pk ?2 2??1???3 ?1???2 其中??0???1?为未知参数。已知取得了样本值x1?1,x2?2,x3?3试求?的矩估计值和最大似然估计值。 解：（1）E?X??1??2?2?2??1????3??1??? =3?2? 2又 x?14??`1?2?1?? 3331

?45令 E?X??x,得:3?2?? 解得的?矩估计值为：?? 36（2）样本的似然函数为： L?????2??2?2??1??? =2?5?1??? 令 L?????10?4?12?5?0 得 ??0或??因0???1,所以?的最大似然估计值为：???5 65。 64、设X1,X2,?,Xn为总体的一个样本，总体X的概率密度函数为 ??1?,0?x?1??x f?x????其他?0,其中??0为未知参数。 求：（1）?的矩估计量； （2）?的极大似然估计量。 解：(1)E（X）??xf?x?dx???x?dx???0??1???1x??11|0????1 令E（X）????1?X- X2??解得?的矩估计量为：?n2?1?X?nii?12 (2)似然函数为：L?????nlnL????ln??2?x?i?1 ???1??lnx ni?1ndlnL???n1??令d?2?2??lnxi?1i?0 ??解得?的极大似然估计量为：?n2????lnxi??i?1?n 5、设X1,X2,?,Xn为总体的一个样本，总体X的概率密度函数为 ??x??1,0?x?1f?x???， 其中??0为未知参数。 其他?0,求：（1）?的矩估计量； （2）?的极大似然估计量。 ??x??1????E(X)??X ??xf?x?dx???xdx???解：(1)E（X）， 令???0??1???1?0??1??11??解得?的矩估计量为：?nX 1?Xn(2)似然函数为L(?)??f(xi) =?i?1?x?ii?1n?1 lnL????nln?????1??lnxi i?1n32

dlnL???nnn??????lnxi?0解得?的极大似然估计量为：?令 d??i?1?n???lnxi??i?1?6、设总体X服从参数为?的指数分布，其密度函数为 ??e??x,x?0f(x)??x?0 (??0), ?0, 求未知参数?的极大似然估计量。 解：似然函数为L(?)??f(xi) =?i?1nn?x?ii?1n?1 lnL????nln?????1??lnxi i?1ndlnL???nnn??????lnxi?0解得?的极大似然估计量为：?令 nd??i?1????lnxi??i?1? ?(??1)x?,0?x?1f(x)???，?n,其他，?1，?2，?07、 设总体X的概率密度函数为 为取自总体X的样本，求未知参数的极大似然估计量。 解：似然函数为 L(?)??(??1)?xi??(??1)n?(x1x2?xn)? i?1nndnLnL(?)???lnxi?0得???1?令d???1i?1n?lnxi?1n i???1?所以 ?n?lnXi?1n即为所求参数?的极大似然估计量。 i8、设X~b?1,P?，X1，X2，……，Xn是来自X的一个样本，试求 ： （1）参数P的矩估计量；（2）参数P的极大似然估计 解：1）E?X??p 1n??X 令E?X??p?X??Xi 得p的矩估计量为：pni?12）似然函数为 L?p???pxi?1?p?i?1nn1?xi ，xi?0,1? lnL?p???xilnp???1?xi?ln?1?p? i?1i?1ndlnL?p?1n1n??xi?令??1?xi??0 dppi?11?pi?11n???xi?X 解得：?的极大似然估计值为：pni?19、设X1，X2，……Xn是来自总体的样本，总体X的密度函数为 33

????1?x?,0?x?1 f?x????0,其他其中???1是未知参数，求： （1）参数?的矩估计量； （2）参数?的极大似然估计量。 解：1）E?X???xf?x?dx ???????1?x?xdx?01????1??21??1 x0=??2??2??11n?X??xi 令E?X????2ni?1??2X?1 解得?的矩估计量为： ?1?X2）似然函数为：L????????1?xi ????1??i?1nn?x? ii?1nlnL????nln???1????lnxi i?1ndlnL???n???lnxi?0 令d???1i?1n???得?的极大似然估计为：??lnxi?1ni?1ni?n i?lnx??C?x????1?,x?c f?x????0,其他10、设X1，X2，… ，Xn为总体的一个样本，总体X的密度函数为 其中C>0为已知，θ>1，θ为未知参数。 求：（1）θ的矩估计量； （2）θ的极大似然估计量。 解：1）??CxC???????1?xdx??C????C?C?1??xdx ?x1??????C?C? ??11nC?令x??xi? ni?1??1得?的矩估计值为；???x x?Cn2）似然函数为：L??????Cx?i?1????1?i??Cnn??x???ii?1n?1? lnL????nln??n?lnC????1??lnxi i?1nd?lnL????n??nlnC??lnxi?0 令d??i?1n??解得?的极大似然估计值为?n?lnxi?1n i?nlnC34

??e??x,x?011、设总体X的密度函数为f(x;?)??(??R?) ,?X1,X2,?,Xn?是一样本. ,x?0?0 求：①参数λ的矩估计量；②参数λ的极大似然估计量. ??1??11解：①E?X???xf?x?dx??(?x)e??xd(?x)??(2)?; ???0??令E(X)?X，即λ矩估计量为：??n?1; X??xin?nx???L???e??e?②似然函数为：i?1 lnL????nln??nx?,[lnL???]'??n??nx?0, ?11λ的极大似然估计量为：??,估计值为??. Xx12、为了解灯泡使用时数的均值?及标准差?，测量10个灯泡，得x?1500h,S?20h．如果已知灯泡的使用时数服从正态分布，求?和?的95%的置信区间． 解:(1)这是一个未知方差求?的置信度为0.95的置信区间的问题．由已知n=10,x?1500,S?20.查表得t1??2． (n?1)?t0.97(59)?2.262因此，?的95%置信区间为 ???x?t1??(n?1)?S/n,x?t1??(n?1)?S/n?22?? ?2020???1500?2.262?,1500?2.262????1485.69,1514.31?1010??22(n?1)??0(2)这是一个求?的置信度为0.95的置信区间的问题．查表得??.025(9)?2.700，2?2?(n?1)??02.975(9)?19.023．?2的95%置信区间为 1?2??22(n?1)S??9?2029?202??(n?1)S??2(n?1),?2(n?1)???19.023,2.700??[189.24,1333.33]． ???1????2?2?开方后得到?的置信区间为［13.8，36.5］。 13、为了比较甲、乙两组生产的灯泡的使用寿命，现从甲组生产的灯泡中任取5只，测得平均寿命x1?1000(h)，标准差s1?28(h)，从乙组生产的灯泡中任取7只，测得平均寿命x2?980(h)，标准差s2?32(h)，设这两总体都近似服从正态分布，且方差相等，求这两总体均值差?1??2的置信度为0.95的置信区间． 2??2,但?2未知，1???0.95,??0.05，查表t解:由题设?12??21??2(n1?n2?2) ＝t0.975(5?7?2)?2.2281， 2(n1?1)S12?(n2?1)S24?282?6?322S????928，S??30.46 n1?n2?2102?则?1??2的置信度为0.95的置信区间为??(x1?x2)?t1??(n1?n2?2)S?2??11??即?(1000?980)?2.2281?30.46?????(?19.74,59.74)。 57??11?? ?n1n2?? 222Y~N(?2,?2)，?63.96,s2?49.05，X~N(?1,?12)，14、两总体X，Y相互独立，分别取n1?25,n2?16 的简单随机样本，算出s135