概率统计试题库及答案 - 图文(4)

?cx?,1、设随机变量X的概率密度为f?x????0,0?x?1;其它. 且E?X??0.75， 求常数c和α。 c?1, ???0cxdx?1, ??11??cx??1dx?0.75,得c?0.75, 解：由??0???21?解得α＝2，c ＝3。 2、设离散型随机变量X的分布律为： 3、X 4、0 5、1 6、2 1117、p 8、3 9、6 10、 2 31P(X?)P(1?X?)2，2，P(1?X?3). 求：(1) X的分布函数F(x) ；(2) 21111111解：(1)先求F(x)在跳跃点0,1,2处的值：F(0)= ；F(1)= += ；F(2)=++=1. 3362362因为F(x)为非降、右连续的阶梯函数，故F(x)为： x?0?0?10?x?1??3F(x)??1 1?x?2??2?x?2?111331(2).P(X?)=P(X?0)=； P(1?X?)=0；P(1?X?)=P(X?1)=. 32262 3、 已知随机变量X的密度函数为 ?ax? f(x)??2?x?0?0?x?11?x?2 其他求 (1)常数a (2) P(解：(1) ???113

?3?0?4?012????所以 c?12. （2）fX?x???f?x,y?dy， ????当x?0时,fX?x??0; 当x?0时，fX?x???12e??3x?4y?dy 0?? =12e?3x???0e?4ydy 16

=3e?3x ?3e?3x,x?0所以 fX?x??? x?0.?0,?4e?4y,y?0类似可得：fY?y??? y?0.?0,?e?y,5、设二维随机向量（X，Y）的联合概率密度为f?x,y????0,0?x?y其它., （1）求（X，Y）分别关于X和Y的边缘概率密度fx(x),fy(y); （2）判断X与Y是否相互独立，并说明理由。 解：（1）边缘概率密度为 ???? 0e-ydx?ye-y,y?0;?? xe-ydy?e-x,x?0;fx(x)??f(x,y)dy?? fx(y)?? -?f(x,y)dx?? -?0, x?0,0, y?0,??????y（2）由于f (x,ｙ)≠fx (x)·fY(y),故X与Y不独立。 ?Kx2,0?x?26、已知随机变量ξ的概率分布密度为?(x)?? ?0,其他 求： （1）K的值；（2）P{1/2<ξ<2}。 解：(1)由???x?dx??????20?323x83?x,0?x?22kx2dx?k|0?k?1得：k?，从而??x???8 338??0,其他23x3263?1?22(2)P????2?=?1??x?dx=?1xdx =|1= 8264?2?2287、二维随机变量（X，Y）的联合密度函数为 ?Ay?1?y?,0?x?1,0?y?x f?x,y???0,其他?（1） 试确定常数A； （2） 求关于X和Y的边缘密度函数； （3） 判断X和Y是否相互独立。 解：(1)由??????????A?A?Af?x,y?dxdy??dx?Ay?1?y?dy???x2?x3?dx??1 得：A?12 0002312??1x1(2)fX?x??? f(y)????????x23???12y(1?y)dy0?x?1?6x?4x,0?x?1f?x,y?dy??0?? ?0其他?0,其他???12???12y(1?y)dx0?y?1?12y(1?y)f(x,y)dx??y??0?0其他??0?y?1 其他 (3)f?x,y??fX?x??fY?y? 所以X与Y不相互独立。 8、设X的分布律为 X P -1 1 2 1 1 1 326〈0X〈2? (1)求X的分布函数； (2)求??0?X?2?及??解：(1)由F(x)?P?X?x? ， 17

0,x??1??1,?1?x?1?3? 所以有：F(x)??115- ??,1?x?2?326?111x?2????1,?326(2) P?0?X?2??F(2)?F(0)?1?12211? P?0?X?2??P?0?X?2??P?X?2???? 333629、设随机变量X~N(0,1),求随机变量Y??X??(??0)的概率密度。 解： 设随机变量Y的分布函数为FY(y) ，则有 y?????y????? FY(y)?P?Y?y??P??X???y??P?X?? ?X????????y????y???1于是 FY?(y)???X????X??? ???????而?X(x)?12?e?x22，所以，Y的概率密度函数为 ?y?????????22PY(y)?FY?(y)?12?e?1??12??e??y???22?2 即Y~N(?,?2)。- 10、 二维随机变量（X，Y）的联合密度函数为 ?Ay?1?y?,0?x?1,0?y?x f?x,y???其他?0,（1） 试确定常数A； （2）求关于X和Y的边缘密度函数； （3）判断X和Y是否相互独立。 解：(1)由??????????1x1?AA?Af?x,y?dxdy??dx?Ay?1?y?dy???x2?x3?dx??1 得：A?12 00023?12?(2)fX?x??? f(y)????????x23???12y(1?y)dy0?x?1?6x?4x,0?x?1f?x,y?dy??0?? ?0其他?0,其他???12???12y(1?y)dx0?y?1?12y(1?y)f(x,y)dx??y??0?0其他??0?y?1 其他 (3)f?x,y??fX?x??fY?y?,所以X与Y不相互独立。 11、 设随机变量X的分布律为 X Pk （ ?3P??x?（1）求X的分布函数；(2)求?25??2?；(3)求P?2?x?3? -1 1/4 2 1/2 3 1/4 解：1）X的分布函数 ?0,x??1?1?,?1?x?2?F?x???4 ?3,2?x?3?4?1,x?3??32）P??x??25??5??3?311??F???F????? 2??2??2?44218

P?2?x?3??F?3??F?2??P?X?2??1?12、 设二维随机变量?X,Y?的概率密度为 313?? 424?ky?2?x?,0?x?1,0?y?x,f?x,y????0,其他 （1）求常数k；（2）求边缘概率密度； 1x1152??fx,ydxdy?1????，则dxky2?xdy?kx2?xdx?k?1 ?0?0?02?????24所以：k?4.8 x??2.4x2?2?x?,0?x?1??04.8y?2?x?dy,0?x?12）fX?x??? ?? ?0,其他?0,其他1??4.8y?2?x?dx,0?y?1?7.6y?9.6y2?2.4y3,0?y?1??y fY?y??? ?? ?0,其他? ?0,其他解：1）由?????13、 ?Ae??x,f(x)???0,设X是连续型随机变量，已知X的密度函数为x?0x?0， 其中?为正常数。 试求 (1)常数A。 (2)X的分布函数F(x)。 解： （1）由?f(x)dx??0dx????????0??0Ae??xdx?A??1得A??- （2）F(x)??x??f(x)dx x?? 当 x?0时，F(x)??0dx?0 当x?0时，F(x)??f(x)dx??0dx???e??xdx?1?e??x ????0x0x?1?e??x所以F(x)???0 14、 x?0- x?0设二维随机变量(X,Y) 的联合密度为 ?2e?(2x?y),x?0,y?0f(x,y)??其他?0， (1) 求X，Y的边缘概率密度； (2)问X和Y是否相互独立？ 解： （1）fX(x)??????f(x,y)dy 当x?0时， fX(x)?0 当x?0时，fX(x)????02e?(2x?y)dy?2e?2x ?2e?2x所以 fX(x)???0?e?y 同理有fY(y)???0x?0 x?0 y?0y?0?2e?(2x?y)（2）由（1）知： fX(x)fY(Y)???0x?0,y?0- 其他 显然，在平面上都成立f(x,y)?fX(x)fY(y) 所以，X与Y是相互独立的。 15、 设随机变量X的分布律为 X -2 -1 0 1 3 Pk 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 19

1)求Y?X2的分布律；2）求P?Y?2? 解：1)Y?X2的分布律为 Y Pk (5) 0 1/5 1 7/30 4 1/5 9 11/30 2)P?Y?2??P?Y?0??P?Y?1?? 16、 1713?= 53030设随机变量X和Y具有联合概率密度 ?k,x2?y?x f?x,y????0,其他（1）试确定常数； （2）求边缘概率密度；fX?x?（3）判断X和Y的独立性。 解：1）由??????????f?x,y?dxdy?1得：?dx?2kdy??kx?x2dx?1 0x01x1??所以k?6 x??6?x?x2?,0?x?1??x26dy,0?x?12）fX?x??? ?? 0,其他???0,其他?y6dx,0?y?1? fY?y????y ??0,其他3）f?x,y??fX?x??fY?y?,所以X与Y不相互独立。 17、 设随机变量X的概率密度为 ??1??2?1?2?,1?x?2f?x???? x??0,其他??3?（1）求X的分布函数； （2）求P??X?3? ?2??0,x?1?2?解：1） F(x)??2x??4,1?x?2 x???1,x?2?3??3?2）P??x?3??F?3??F?? =2/3 ?2??2? 18、 设二维随机变量?X,Y?的概率密度为 ?Cx2y,x2?y?1f?x,y??? ?0,其他(1)试确定常数C;（2)求边缘概率密度fX?x?,fY?y?；（3)判断X与Y的独立性. 解：1）由????? …… 此处隐藏：1734字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……