概率统计试题库及答案 - 图文(6)

解： （1）有题意可知：随机变量Y只可能取0，1，2三个值，且有 P?Y?0??1125111P?Y?1????P?Y?2???? 9399663所以随机变量Y的分布律为 Y 0 1 2 P 1 5 1 993----------------------------------4分 121111 （2）E（X）?（?2）??（?1）??0??1??2?? 69936912111722E（X2）?（?2）??（?1）??12??22?? 693691?152- ??17??D（X）?E（X）??E（X）???9?9?812223、 设随机变量X服从指数分布，其概率密度为 x?1???e,x?0 f?x?????0,x?0?其中??0，求E?X?，D?X?。 解：1）E?X???xf?x?dx ????????0xedx??xe?1?1?x???0???edx ???e?0???x?x???0?? 2）E?X2???x2f?x?dx??x2e?????x???0?2???0xe?dx??2?2e?x?x???0?2?2 D(X)??2 ?0,x?0?4、设随机变量X的分布函数为F(x)??Ax2,0?x?1 ?1,1?x?求 (1) 常数A ; (2) X落在[－1,0.5]内的概率；（3）E（X）；D（X）. 解：1） 由F(1)=F(1+0)得：A=1 ?0,x?0? F(x)??x2,0?x?1 ?1,x?1?2）P??1?x?0.5??F?0.5??F??1??0.25 ?2x,0?x?13）f(x)?F?(x)?? ?0,其他E(X)??xf(x)dx??x?2xdx?23 ??0214）D(X)??(x?)f(x)dx??(x?23)?2xdx?18 ??0?2231?1 ??k21?x?25、设随机变量X的密度函数f(x)??x ，求： 其他??044 （1）k；（2）P{?x?}；（3）E(X)。 53??2k?f(x)dx?1,?解：（１）??1x2dx?1,?k?2?3分 ?? 4421（2）P{?X?}??432dx??3分 532x526 4

2dx?2ln2,?4分 21x6、设随机变量X的分布律为： X 0 1 2 （3）E(X)??x2 求：（1）A；（2）X的分布函数F(x)；（3）D(X)。 P 1 4A 1 4111解：(１）??pk?1?2分，??A??1,?A??1分 442k0?1?x?0?40?x?1?113,（２）F(x)?P(X?x)???3分 ???4241?x?2?111x?2???1??424（3）E(X)?0? 111?1??2??1?1分 4241113 E(X2)?02??12??2?2??1分 424231 D(X)?E(X2)?[E(X)]2??12??2分 227、 随机变量X的分布律为 X -2 0 2 Pk 0．4 0．3 0．3 （1）求E?X?；（2）求E?X2?；（3）求D?X?。 解： 1）E?X????2??0.4?0?0.3?2?0.3??0.2 2）E?X2????2??0.4?02?0.3?22?0.3?2.8 23）D?X??E?X2???E?X???2.8???0.2??2.76 228、设随机变量X服从指数分布，其概率密度为 x?1???e,x?0 f?x?????0,x?0?其中??0，求E?X?，D?X?。 解：1）E?X???xf?x?dx ????????0xe?dx??xe1?1?x???0???e?dx ???e0???x?x???0?? 2）E?X2???????xf?x?dx??xe222?x???0?2???0xe?dx??2?e?x2?x???0?2?2 D?X??E?X2???E?X???2?2??2??2 9、对一批产品进行检查，每次取任意取一件产品，检查后放回，再取一件产品，如此继续进行，如果发现次品，则认为这批产品不合格而立即停止检查；如果任取5件产品都是合格品，则认为这批产品合格，也停止检查。设每批产品的次品率为0.2，问平均每批要抽查多少件产品？ 解: 设每批产品要抽查X件产品，则RX?{1,2,3,4,5} P{X?1}?0.2 P{X?2}?0.8?0.2，P{X?3}?0.82?0.2 P{X?4}?0.83?0.2，P{X?5}?0.84?0.2?0.85?0.84 于是 27

E(X)??kP{X?k}k?15 ?1?0.2?2?0.8?0.2?3?0.82?0.2?4?0.83?0.2?5?0.84?3.3616?kx2,?1?x?0???110、设X的概率密度为f(x)??cosx,0?x? 2?30,其它??（1）求k的值，（2）求E(X),D(X)。 ??111解：（1）?f(x)dx??kxdx??2cosxdx?k?，由?f(x)dx?1，得k?2 ?????10333??0?2?2x2,?1?x?0???1所以f(x)??cosx,0?x? 2?30,其它??（2）E(X)??xf(x)dx??2xdx??2???10??0?3x1cosxdx?(??5) 36x2?24cosxdx?? 31215E(X)??xf(x)dx??2xdx??2???102??20?4D(X)?E(X)??E(X)?2241?251732???(??5)???? 1215361818180?211、随机变量X的密度函数为 ?ax2?bx?c,f?x???0,?0?x?1,其它． 已知 E?X??0.5，D?X??0.15，求系数a，b，c. ????111解：?f(x)dx??(ax2?bx?c)dx?a?b?c由?f?x?dx?1 ，得 ????03211a?b?c?1 （1） 32??1111E(X)??xf(x)dx??(ax2?bx?c)dx?a?b?c，由 E?X??0.5，得 ??0432111a?b?c?0.5 （2） 432??1111E(X2)??x2f(x)dx??x2(ax2?bx?c)dx?a?b?c ??0543由E?X2??D?X???E?X???0.15?0.52?0.4，得 2111a?b?c?0.4 （3） 543由（1）（2）（3）解得a?12，b??12，c?3。 ?6e?(2x?3y),12、已知(X,Y)的概率密度为f(x,y)??0,?（1）求P{X?Y}，（2）E(XY)。 解：（1）P{X?Y}?（2）E(XY)??x?0,y?0其它 X?Y??f(x,y)dxdy??dx?6e?(2x?3y)dy?0x????2 51 6?????????xyf(x,y)dxdy????0???06xye?(2x?3y)dxdy?28

?e?y,0?x?1,y?013、设(X,Y)的概率密度为f(x,y)?? 0,?（1）问X,Y是否独立？ （2） 求D(X),D(Y) （3）求?XY 解：（1）fX(x)?????????e?ydy?1f(x,y)dy??0?0?,0?x?1,其它?? 同理fY(y)???????e?y,y?0 f(x,y)dx???0,y?0由于fX(x)fY(y)?f(x,y)，因此X,Y相互独立。 （2）E(X)??E(Y)??2?????????xf(x,y)dxdy??dx?01001??0xe?ydy?1 2?????????yf(x,y)dxdy??dx?210??ye?ydy?1 ??0E(X)??E(Y)??2?????????xf(x,y)dxdy??dx?x2e?ydy?21??001 3?????????yf(x,y)dxdy??dx?2y2e?ydy?2 D(X)?EX2??E?X???D(Y)?EY2??E?Y???????2111?? 341224???1 391??00（3）E(XY)??????????xyf(x,y)dxdy??xdx?ye?ydy?1 2Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?11??1?0 22??XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)?0 ?1?(x?y),0?x?2,0?y?214、设(X,Y)的概率密度为f(x,y)??8，求?XY。 ?0,其它?解：E(X)??1(x?y)xdxdy ?????0?08212227??dx?(x2?xy)dy??(x2?x)dx? 080806212212125E(X2)???x2(x?y)dxdy??dx?(x3?x2y)dy ??(x3?x2)dx? 0800804035711711。同理 E(Y)?，D(Y)? D(X)?E(X2)?[E(X)]2??()2?3636636????221E(XY)???xyf(x,y)dxdy???(x?y)xydxdy ????0082121284??dx?(x2y?xy2)dy??(2x2?x)dx? 0808033471Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)??()2??3636 ????xf(x,y)dxdy??22所以?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)??136?1 ?11361115、某车间有200台车床，每台车床有60%的时间在开动，每台车床开动期间的耗电量为E千瓦，问至少应供应给此车间多少电量才能以99.9%的概率保证此车间不因供电不足而影响生产？ 解：设至少需供给nE千瓦电量，设X为同时开动的车床数，则X~B(200,0.6) np?200?0.6?120,np(1?p)?200?0.6?0.4?48 29

由P{X?n}?0.999，得P{n?12048X?12048?n?12048}?0.999 即?()?0.999?n?12048?3.01，所以n?141。 16、设一个系统由100个互相独立起作用的部件组成，每个部件损坏的概率为0.1，必须有84个以上的部件正常工作才能使整个系统工作，求整个系统工作的概率。 解:设X为整个系统处于工作状态的部件个数，则X~B(100,0.9) P{X?85}?1?P{X?84}?1?P{X?100?0.9100?0.9?0.1?84?100?0.9100?0.9?0.1} ?1??(?2)??(2)?0.977 17、 有一批电子元件装箱运往外地，正品率为80%，若要以95%的概率使箱内正品数多于1000只，问箱内至少要装多少只元件？ 解:设至少需装n只元件，设X为n只元件中的正品数，则X~B(n,0.8) np?0.8n，np(1?p)?0.8?0.2?n?0.16n 1000?0.8n?1?n???()?0.95 P{100?X?n}?0.95，得 ??20.4n???1?n??1，于是 当n充分大时，???2?1000?0.8n1000?0.8n1??()?0.95???1.64，取n?1279 0.4n0.4n 18、一加法器同时收到100个噪声电压Vk(k?1,2,?,100)，设它们是相互独立的随机变量，且都在（0，10）上服从均匀分布，记V??Vk，求P{V?520}的近似值。 k?1100解： E(Vk)?5，D(Vk)?100，k?1,2,?,100 12V?100?5520?500P{V?520}?1?P{V?520}?1?P{?}100100100?100?1212 ?2012100???1???0.693??0.2451?1???????19、某厂知道自己产品 …… 此处隐藏：3303字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……