概率统计试题库及答案 - 图文(5)

?212?12124??x2xydy,y?x?1?x1?x,?1?x?12）fX?x???4 ??8 ??0,其他?0,其他????75?y212?y2,0?y?1???yxydx,0?y?1 fY?y??? ??2 4?0,其他??0,其他?3）因fX?x?fY?y??f?x,y?， 所以X与Y不相互独立。 19、 设随机变量X的分布律为 X Pk -2 1/5 -1 1/6 0 1/5 1 1/15 3 c （1)求确定常数c；（2）求Y?X2的分布律；（3）求Y?X2的分布函数。 11解：1）由15?6?15?c?1，得 c?1130 2)Y?X2的分布律为 Y 0 1 4 9 Pk 1/5 7/30 1/5 11/30 ?0,y?0?1?5,0?y?1?3)Y的分布函数为F(y)??1330,1?y?4 ?19,4?y?9?30??1,y?920、 设随机变量X和Y具有联合概率密度 ?ke?x?y,x?0,y?0f?x,y??? ?0,其他（1）试确定常数k；(2）求边缘概率密度；( 3）判断X和Y的独立性;4)求P{0

解：1）由??????????f?x,y?dxdy?1 得：C?xdx?2y2dy?1 0x11所以C?6 12??2x,0?x?1??06xydy,0?x?12）fX?x??? ?? 0,其他???0,其他12??3y2,0?y?1??06xydx,0?y?1 fY?y??? ?? ?0,其他??0,其他3）因为fX?x?fY?y??f?x,y?， 所以X与Y相互独立 4）因为X与Y相互独立，所以?XY=0 22、 设随机变量X的密度函数为 ?Alnx,x?(1,e) f?x??? ?0,其它e①求常数A；②求P(X>). 2解：①由?f?x?dx?1 得 ????eeeeA?lnxdx?Axlnx?A?xdlnx?Ae?A?dx?A?1 1111②P(X>e)=1??2e21eeeeeelnxdx?xlnx2??2xdlnx?ln??2dx?1?ln2 12212123、 已知X~U(0,?),Y?sinX,求Y的概率密度fY(y). 解：用分布函数法 当0?y?1时,?FX????FX???arcsiny??FX?arcsiny??FX(0)FY?y??P(sinX?y)?P(??arcsiny?X??)?P(0?X?arcsiny) 2?,0?y?1?2两边对y求导得 fY(y)???1?y. ?0,other?24、 设随机变量X具有概率密度 ?kx,0?x?3?x?f?x???2?,3?x?4 2???0,其他1?X?2? （1） 确定常数k；（2）求X的分布函数F?x?；（3）求P?解：1）由?????34?x?f?x?dx?1，得：?kxdx???2??dx?1 032?? 则：k?1 6?0,x?0?0,x?0?2?x1?x,0?x?3?tdt,0?x?3?12??06??Fx?2）F?x??? 所以， ?22?2x?x?3,3?x?4?2x?x?3,3?x?4??44?1,x?4???1,x?41?x?2??F?2??F?1? ?3）P?1 422

25、 设二维随机变量?X,Y?的概率密度为 ?e?y,0?x?y f?x,y????0,其他（1）求边缘概率密度fX?x?，fY?y?； （2）判定X与Y的独立性。 解：（1）边缘概率密度为 ???? 0e-ydx?ye-y,y?0;?? xe-ydy?e-x,x?0;fx(x)??f(x,y)dy?? fY(y)?? -?f(x,y)dx?? -??0, x?0,?0, y?0,????y（2） 由于f (x,ｙ)≠fx (x)·fY(y),故X与Y不独立。 26、 某校抽样调查结果表明，考生的概率论与数理统计成绩X近似地服从正态分布N(?,?2)，平均成绩??72分，96分 以上的占考生总数的2.3％，求考生的概率统计成绩在60分至84分之间的概率。 ?96?72?解: X~N(72,?2)，P(X?96)?1?P(X?96)?1?????2.3%， ????24?????0.977， ???查表得24??2，??12． 所求概率为: ?84?72??60?72?P(60?X?84)??????????(1)??(?1)?2?(1)?1?0.682 ?12??12?27、离散型随机变量X的分布律为： 0 1 121 1 62 1 33 1 124 2 95 1 9 求:：(1).Y?2X?1的分布律；(2)Z?(X?2)2分布律。 解： X P Y=2X+1 Z=(X?2)2 故有 Y P Z P 28、设随机变量X的概率密度为 0 1 31 1 44 11 369 1 91 1 123 1 65 1 37 1 129 2 911 1 90 1 121 4 1 1 63 1 2 1 35 0 3 1 127 1 4 2 99 4 5 1 911 9 ?e?x f(x)???0 求Y?X2的密度函数。 解:当y<0时，fY(y)?0 x?0x?0 当y>0时，FY(y)?P(Y?y)?P(X2?y)?P(0?X?y) 23

=?y0yf(x)dx??e?xdx 0fY(y)?FY'(y)?e??1?e?所以 fY(y)??2y?0?y12y yy?0y?0 29、袋里有5个编号的球，其中1个球编号为1，有2个球编号均为2，有2个球编号均为3。每次从中任取两个球，以X和Y分别表示这两个球中编号最小的号码和最大的号码。求X和Y的联合分布律。 解： (X,Y)的全部可能取值为(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)，5个球从中任取2个，共有C52?10种取法。 样本空间样本点总数为10，因此 1111C1C2C1C222，P(X?1,Y?2)???0.2P(X?1,Y?3)???0.2， 221010C5C5211C2C2C214P(X?2,Y?2)?2??0.1，P(X?2,Y?3)???0.4 210C510C52C21P(X?3,Y?3)?2??0.1，联合分布律用表格表示为 C510 Y X 1 2 3 2 0.2 0.1 0 3 0.2 0.4 0.1 30、将两封信投入3个编号分别为1，2，3的信箱，用X,Y分别表示投入第1，2号信箱中的信的数目。（1）求(X,Y)的分布律；（2）问X,Y是否相互独立？（3）求Z?2X?Y的分布律.。 解：（1）X的所有可能取值为0，1，2；Y的所有可能取值为0，1，2， 1P(X?0,Y?0)? 911C2C2 P(X?1,Y?0)?P(X?0,Y?1)?11?1C3C392C22P(X?2,Y?0)?P(X?0,Y?2)?11? C3C3911C2C2 P(X?1,Y?1)?11?1C3C39P(X?1,Y?2)?P(X?2,Y?1)?P(X?2,Y?2)?0。 于是(X,Y)的分布律为 Y X 0 1 2 344（2）p1???p1j?，p?1??pi1?，显然p??p?1?p11， 99j?1i?130 1 2 1/9 2/9 1/9 2/9 2/9 0 1/9 0 0 所以X与Y不相互独立。 （3）Z?2X?Y的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6 12P(Z?0)?P(X?0,Y?0)?，P(Z?1)?P(X?0,Y?1)?， 9924

P(Z?2)?P(X?1,Y?0)?P(X?0,Y?2)?P(Z?3)?P(X?1,Y?1)?2， 9213??， 9991P(Z?4)?P(X?1,Y?2)?P(X?2,Y?0)?， 9P(Z?5)?P(Z?6)?0，于是Z?2X?Y的分布律为 Z pk 0 1 2 3 4 1 92 93 92 91 931、设随机变量X和Y的联合分布律为 Y 1 0.15 0.05 2 0.30 0.12 3 0.35 0.03 X 0 1 （1）求关于X的边缘分布；（2）求关于Y的边缘分布；（3）求P(Y?1)。 解：（1）P(X?0)?P(X?0,Y?1)?P(X?0,Y?2)?P(X?0,Y?3) ?0.15?0.30?0.35?0.80 P(X?0)?P(X?1,Y?1)?P(X?1,Y?2)?P(X?1,Y?3) ?0.05?0.12?0.03?0.20 即关于X的边缘分布为 X pi? 0 0.8 1 0.2 （2）P(Y?1)?P(X?0,Y?1)?P(X?1,Y?1)?0.15?0.05?0.20 P(Y?2)?P(X?0,Y?2)?P(X?1,Y?2)?0.30?0.12?0.42 P(Y?3)?P(X?0,Y?3)?P(X?1,Y?3)?0.35?0.03?0.38 即关于Y的边缘分布为 Y p?j 1 0.2 2 0.42 3 0.38 （3）P(Y?1)?P(Y?2)?P(Y?3)?0.42?0.38?0.80。 （三） 1、设随机变量X具有密度函数 0?x?1?x,? f?x???2?x,1?x?2 求EX及DX。 ?0,其它?131122 x0?x21?x31?10133121232132723 EX??xdx??x2?2?x?dx?x41?x1?x1? 0014346712DX?EX2??EX???1? 662、设离散型随机变量X的分布律是 X -2 -1 0 1 2 P 121116993 6 解：EX??x2dx??x?2?x?dx12? (1) 求Y=XD(X) 的分布律 (2) 求E(X)，25