套利定价理论及保险精算方法在期权定价中的应用(4)

则ｄｇ（ｔ，Ｘ）＝掣出＋掣删，＋圭等掣ｄ“，＞．

Ｉｔ３公式是复合函数求导公式在随机分析框架中的推广．

２．Ｂ－Ｓ微分方程的推导

首先作出以下假设：

１）股票价格演化遵循几何Ｂｒｏｗｎ运动

ｄＳ，＝ａＳ，ｄｒ＋ｃｒＳ，ｄ彬，（３．１．１）

这里∥是预期收益率（ｅｘｐｅｃｔｅｄｒｅｔｕｍｒａｔｅ）（常数），盯是波动率（ｖｏｌａｔｉｌｉｔｙ）（常数），彤是标准Ｂｒｏｗｎｉｅ．动（ｓｔａｎｄａｒｄＢｒｏｗｎｍｏｔｉｏｎ），Ｅ（ｄＷ，）＝０，Ｖａｒ（ｄ彬）＝ｄｒ．

２）无风险利率，是常数，且对所有的到期日都相同，

３）股票不支付股息，

４）不支付交易成本（ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｃｏｓｔ）币Ｄ税收（ｔａｘ），

５）不存在任何无风险套利机会．

用矿表示股票期权价格，它是一个随机变量．

卖出一份股票期权，出售方必然面临风险，为了回避这个风险，出售方要采取适当策略对风险进行控制，即买进适当份额的股票与它对冲，记这个份额为△，这就是△．对冲的思想．

定义３．１．１对于给定的期权Ｖ，在相反方向交易△份额的标的资产Ｓ，使得构成的投资组合ｎ：

兀＝Ｖ一△Ｓ，

是无风险的，这称为△一对冲（△一ｈｅｄｇｉｎｇ）．

构造一个包含Ｖ和Ｓ在内的证券组合

兀＝Ｖ一△Ｓ，

表示买进一份期权，卖出Ａ份的股票，选取适当的△使得在（ｆ，，＋出）时段内，ｎ是无风险的．

设在时刻ｆ形成投资组合ｎ，并在时段（ｒ，ｆ＋出）内，不改变份额△，那么出于兀是无ｊｘＬ险的，因此在时刻ｔ＋防，投资组合的回报是

’孚：掣：ｒｄｔ，丌，兀，

¨＝矿（墨，，）’即由于ｄＫ一△ｄＳ＝ｒＶｉ，ｄｔ＝ｒ（¨一ＡＳ，）ｄｔ，（３．１．２）

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其中Ｓ是由随机微分方程（３．１．１）确定的随机过程，因此由ｎ二引理

彤文罾＋２１挪２窘＋心ＯａＳＶⅢ仃ｓ警矾

把它代入（３．１．２）得

（警＋；盯２ｓ２等＋肛丽ＯＶ一△筇）出＋（Ｇ舔２。舔Ｓ丝ＯＳ－－ＡＧＳ）ｄ彬、研２。７、７

＝ｒ（Ｖ—ＡＳ）ｄｒ

由于等式右端是无风险的，因此等式左端随机项ｄ形的系数必为０，即选取（３。１．３）

△２鼍．

将它代Ａ（３，１．３），并消去出，利用无套利原理，可得到（３．Ｉ．４）

骂Ｏｔ０２２∥擎＋心里ＯＳ叫－０．船２（３．１．５）”’

这就是刻画期权价格变化的偏微分方程——著名的Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ微分方程．该方程是任何基于股票价格的衍生证券所必须满足的微分方程，属二价线性抛物型偏微分方程【Ｈｉ．该方程存在很多解，对于不同的衍生证券价格其解依赖于所取的特殊边界条件．

对于到期日为ｒ，执行价格为｜！（的欧式看涨期权ｃ（ｓ，ｔ）而言，其边界条件可以描述为

ｃ（ｓ，Ｔ）＝（Ｓ—Ｋ）＋．

进而可以得到ｃ（ｓ，ｆ）的解析解

其中吐：＿ｌｎＳ＋（ｒ＋—！－２）（Ｔ－ｔ）。ｄ２＝ｄ．一仃√两．ｃｒｑＴ—ｆｃ（ｓ，，）＝ＳＮ（ｄ，）一Ｋｅ一＾“’Ｎ（ｄ．），（３．１．６）

这就是Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价公式．

同理可以得到相同条件下的欧式看跌期权Ｐ（ｓ，，）的定价公式

Ｐ（ｓ，，）＝Ｋｅ…‘’。’Ｎ（－ｄ２）一ＳⅣ（—每）．（３，１．７）

从上述推导过程中可知，Ｂｌａｃｋ和Ｓｃｈｏｌｅｓ建立了一个包含股票头寸和基于该股票的衍生证券头寸在内的组合证券，并利用该组合头寸收益等于无风险收益的瞬时（也称△中性）来为期权定价．

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３．２有交易成本的股票价格服从混合过程的欧式期权定价模型

Ｂ—Ｓ期权定价公式给出了不支付红利股票期权价值的解析表达式，按照同样的方法，可以推导出支付已知红利股票期权的定价公式，而且值得一提的是Ｂｌａｃｋ和Ｓｃｈｏｌｅｓ推导其股票期权定价公式是给出了许多假设条件，其中有的假设显然不符合现实情况，因此我们可以对Ｂ．Ｓ模型的假设条件作出一些修正，按照套利定价理论，构造包含该股票期权的无风险投资组合为其定价．

３．２．１股票价格行为模式

股票价格一般都围绕一个期望变化率在一合理范围内作平滑波动，但也常出现与连续平滑波动完全不成比例的异常变化，其连续平滑波动可视为由经济中某些平常条件带来的正常变化，如：股票供求关系，发行股票企业的经营状况，国家的长期利率、税收政策等：而不连续变化即与连续平滑波动完全不成比例的异常变化则可视为由经济中的某些不寻常情况带来的不正常变化，如突发战争、一国政变、重大政治事件、人为投机等．

对于股票价格行为，人们通常假设其服从马尔科夫过程，如Ｂｌａｃｋ．Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价模型中假设股票价格服从Ｉｔ６过程，这一假设虽然强调了在将来任一特定时刻股价的概率分布仅取决于股票当前的价格这一性质，但它只描述了股价在时间与空问上以连续形式的变化，即由经济中某些平常条件带来的正常变化，而未反映出由经济中的不寻常情况带来的不正常变化，这些不正常变化往往引起股价大幅度的不连续跳跃１１”．

一般地，人们常用以下三类概率模型束描述经济系统中各类变量的变化：

１）Ｉｔ占过程Ｉｔ＆是一个连续随机过程，描述了在时间与空间上变量以连续形式的变化．若随机变量ｘ服从Ｉｔｂ过程，则ｘ的随机行为可由如下微分方程描述：ｄｘ＝ａ（ｘ，ｏａｔ＋ｂ（ｘ，ｔ）ｄｚ（ｔ）．其中，ａ（ｘ，ｆ）为单位时间内工的预期变化；ｂ（ｘ，Ｄ为单位时间内ｘ的扩散部分：ｚ（ｆ）为期望值为０，方差为１的维纳过程．

２）脉冲干扰过程脉冲过程描述了在空间上不连续但在时间上连续的变量的变化行为．若随机变量ｘ服从脉冲干扰过程，则其随机行为可描述为：

ｄｒ＝ｆ（ｘ，ｔ）ｄｔ＋１１ｈ（ｘ，，，伊ｖ（ｄｔ，ｄ１）

ｘ的变化由两部分组成：等式右边的第一部分ｆ（ｘ，ｔ）ｄｔ代表ｘ的正常变化；第二部分Ｉ自（ｘ，ｆ，，）．ｖ（ｄｔ，ｄ１）代表任一时间段内工非零概率的跳跃，即由Ｐｏｉｓｓｏｎ点过程五

所驱动的纯断过程ｒ其中ｒ（ｆ，，）为泊松测度，其参数为ｔ，，∈［ｆｌ，，：】∈【Ｏ，＊），，∈Ｒ，也即ｖ服务泊松分布：

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只｛ｖ（６）：ｎ）：ｆｌ＂．．ｅ．－Ｐ，”≥Ｏ，∥：ｄｔ．ｖ（ｄ１），占∈Ｂ（（０，∞）×Ｒ）．

门！；

且只｛ｖ（占）＝。。）；０，若户ｍ时；Ｚ（ｖ（５）＝～＊）；０，茕户一ｍ对．其中ｖ（ｏ＇９可微且可加，故Ｖ（［ｆ。，ｆ２］×【，．，，：】）表示了变量ｘ在时间问隔［‘，ｔ２］内的跳跃次数．ｈ（ｘ，，，，）为权重，是一平方可积函数．单位时间内ｘ的瞬间期望为ｆ（ｘ，ｒ）＋Ｉ＾（ｘ，ｒ，，）ｉ（栅），瞬间方差

三

为协２Ｑ，ｔ，ｚ）９（ｄＯ。

ｆ

３）混合过程混合过程是Ｉｔ５过程和脉冲干扰过程的混合，描述了变量在空间上连续的和离散的变化．设随机变量ｘ服从混合过程，则

ｄｘ＝ａ（ｘ，ｔ）ｄｔ＋ｂ（ｘ， …… 此处隐藏：1624字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……