2014年高考理科数学真题解析分类汇编：函数

函数与导数

B1 函数及其表示

6．[2014·安徽卷] 设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f ＝( )

1 B. 221C．0 D．－

2

6．A [解析] 由已知可得，f sin

17π11π17π23π 17π 11π5π

＝f＋sin＝f ＋sin＋sin ＝f ＋

666 6 6 6 6

23π

6

5π11π17π5π5π1π＋sin＋sin2sin ＋sin －＝sin. 666662 62．、[2014·北京卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )

A．y＝x＋1 B．y＝(x－1)2

－

C．y＝2x D．y＝log0.5(x＋1)

2．A [解析] 由基本初等函数的性质得，选项B中的函数在(0，1)上递减，选项C，D中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B，C，D，选A.

2 x＋1，x>0，

7．、、[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝ 则下列结论正确的是( )

cos x， x≤0，

A．f(x)是偶函数

B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数

D．f(x)的值域为[－1，＋∞)

7．D [解析] 由函数f(x)的解析式知，f(1)＝2，f(－1)＝cos(－1)＝cos 1，f(1)≠f(－1)，则f(x)不是偶函数；

当x>0时，令f(x)＝x2＋1，则f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f(x)>1；

当x≤0时，f(x)＝cos x，则f(x)在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f(x)∈[－1，1]； ∴函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)． 2．[2014·江西卷] 函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( ) A．(0，1] B．[0，1]

C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 2．C [解析] 由x2－x>0，得x>1或x<0.

1

3．，[2014·山东卷] 函数f(x)＝( )

（log2x）－1

1

0， B．(2，＋∞) A. 2

11

0， ∪(2，＋∞) D. 0，∪[2，＋∞) C. 2 2 x＞0，

3．C [解析] 根据题意得，解得 1故选C. 2

（log2）－1＞0，x＞2或x＜.

2

x＞0，

B2 反函数 12．[2014·全国卷] 函数y＝f(x)的图像与函数y＝g(x)的图像关于直线x＋y＝0对称，则y＝f(x)的反函数是( )

A．y＝g(x) B．y＝g(－x) C．y＝－g(x) D．y＝－g(－x)

12．D [解析] 设(x0，y0)为函数y＝f(x)的图像上任意一点，其关于直线x＋y＝0的对称点为(－y0，－x0)．根据题意，点(－y0，－x0)在函数y＝g(x)的图像上，又点(x0，y0)关于直线y＝x的对称点为(y0，x0)，且(y0，x0)与(－y0，－x0)关于原点对称，所以函数y＝f(x)的反函数的图像与函数y＝g(x)的图像关于原点对称，所以－y＝g(－x)，即y＝－g(－x)．

B3 函数的单调性与最值 2．、[2014·北京卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．y＝x＋1 B．y＝(x－1)2

－

C．y＝2x D．y＝log0.5(x＋1)

2．A [解析] 由基本初等函数的性质得，选项B中的函数在(0，1)上递减，选项C，D中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B，C，D，选A.

x2＋1，x>0，

7．、、[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝ 则下列结论正确的是( )

cos x， x≤0，

A．f(x)是偶函数

B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数

D．f(x)的值域为[－1，＋∞)

7．D [解析] 由函数f(x)的解析式知，f(1)＝2，f(－1)＝cos(－1)＝cos 1，f(1)≠f(－1)，则f(x)不是偶函数；

当x>0时，令f(x)＝x2＋1，则f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f(x)>1；

当x≤0时，f(x)＝cos x，则f(x)在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f(x)∈[－1，1]； ∴函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．

1

21．、[2014·广东卷] 设函数f(x)＝，其中k<－2.

（x＋2x＋k）＋2（x＋2x＋k）－3

(1)求函数f(x)的定义域D(用区间表示)； (2)讨论函数f(x)在D上的单调性；

(3)若k<－6，求D上满足条件f(x)>f(1)的x的集合(用区间表示)． 12．[2014·四川卷] 设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝

2

－4x＋2，－1≤x<0，3 则f 2＝________． x， 0≤x<1，

3 1 1 1

2－＝f－＝－4 －＋2＝1. 12．1 [解析] 由题意可知，f ＝f 2 2 2 215．，[2014·四川卷] 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成

的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：

①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“ b∈R， a∈D，f(a)＝b”；

2

②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；

③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x) B； x

④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x>－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.

x＋1

其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)

15．①③④ [解析] 若f(x)∈A，则f(x)的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f(a)＝b，故①正确．

取函数f(x)＝x(－1＜x＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M＝1，使得f(x)的值域包含于[－M，M]＝[－1，1]，但此时f(x)没有最大值和最小值，故②错误．

当f(x)∈A时，由①可知，对任意的b∈R，存在a∈D，使得f(a)＝b，所以，当g(x)∈B时，对于函数f(x)＋g(x)，如果存在一个正数M，使得f(x)＋g(x)的值域包含于[－M，M]，那么对于该区间外的某一个b0∈R，一定存在一个a0∈D，使得f(a0)＝b－g(a0)，即f(a0)＋g(a0)＝b0 [－M，M]，故③正确．

x

对于f(x)＝aln(x＋2)(x＞－2)，当a＞0或a＜0时，函数f(x)都没有最大值．要使得函数

x＋1x

f(x)有最大值，只有a＝0，此时f(x)＝ (x＞－2)．

x＋1

111

－，，所以存在正数Mf(x)∈[－M，M]，故④正确． 易知f(x)∈ 222

21．，[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28 为自然对数的

底数．

(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值； (2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围． 21．解：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b. 所以g′(x)＝ex－2a.

当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．

1

当a≤g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，

2因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b； e

当a≥g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，

2因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；

1e

当a<g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0，1)，所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在22区间(ln(2a)，1]上单调递增，

于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.

1

综上所述，当a≤时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；

21e

当a<g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b； 22e

当a≥g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.

2

(2)设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，

则由f(0)＝f(x0) …… 此处隐藏：13645字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……