2014年高考理科数学真题解析分类汇编：函数

函数与导数

B1 函数及其表示

6．[2014·安徽卷] 设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f ＝( )

1 B. 221C．0 D．－

2

6．A [解析] 由已知可得，f sin

17π11π17π23π 17π 11π5π

＝f＋sin＝f ＋sin＋sin ＝f ＋

666 6 6 6 6

23π

6

5π11π17π5π5π1π＋sin＋sin2sin ＋sin －＝sin. 666662 62．、[2014·北京卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )

A．y＝x＋1 B．y＝(x－1)2

－

C．y＝2x D．y＝log0.5(x＋1)

2．A [解析] 由基本初等函数的性质得，选项B中的函数在(0，1)上递减，选项C，D中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B，C，D，选A.

2 x＋1，x>0，

7．、、[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝ 则下列结论正确的是( )

cos x， x≤0，

A．f(x)是偶函数

B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数

D．f(x)的值域为[－1，＋∞)

7．D [解析] 由函数f(x)的解析式知，f(1)＝2，f(－1)＝cos(－1)＝cos 1，f(1)≠f(－1)，则f(x)不是偶函数；

当x>0时，令f(x)＝x2＋1，则f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f(x)>1；

当x≤0时，f(x)＝cos x，则f(x)在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f(x)∈[－1，1]； ∴函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)． 2．[2014·江西卷] 函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( ) A．(0，1] B．[0，1]

C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 2．C [解析] 由x2－x>0，得x>1或x<0.

1

3．，[2014·山东卷] 函数f(x)＝( )

（log2x）－1

1

0， B．(2，＋∞) A. 2

11

0， ∪(2，＋∞) D. 0，∪[2，＋∞) C. 2 2 x＞0，

3．C [解析] 根据题意得，解得 1故选C. 2

（log2）－1＞0，x＞2或x＜.

2

x＞0，

B2 反函数 12．[2014·全国卷] 函数y＝f(x)的图像与函数y＝g(x)的图像关于直线x＋y＝0对称，则y＝f(x)的反函数是( )

A．y＝g(x) B．y＝g(－x) C．y＝－g(x) D．y＝－g(－x)

12．D [解析] 设(x0，y0)为函数y＝f(x)的图像上任意一点，其关于直线x＋y＝0的对称点为(－y0，－x0)．根据题意，点(－y0，－x0)在函数y＝g(x)的图像上，又点(x0，y0)关于直线y＝x的对称点为(y0，x0)，且(y0，x0)与(－y0，－x0)关于原点对称，所以函数y＝f(x)的反函数的图像与函数y＝g(x)的图像关于原点对称，所以－y＝g(－x)，即y＝－g(－x)．

B3 函数的单调性与最值 2．、[2014·北京卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．y＝x＋1 B．y＝(x－1)2

－

C．y＝2x D．y＝log0.5(x＋1)

2．A [解析] 由基本初等函数的性质得，选项B中的函数在(0，1)上递减，选项C，D中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B，C，D，选A.

x2＋1，x>0，

7．、、[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝ 则下列结论正确的是( )

cos x， x≤0，

A．f(x)是偶函数

B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数

D．f(x)的值域为[－1，＋∞)

7．D [解析] 由函数f(x)的解析式知，f(1)＝2，f(－1)＝cos(－1)＝cos 1，f(1)≠f(－1)，则f(x)不是偶函数；

当x>0时，令f(x)＝x2＋1，则f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f(x)>1；

当x≤0时，f(x)＝cos x，则f(x)在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f(x)∈[－1，1]； ∴函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．

1

21．、[2014·广东卷] 设函数f(x)＝，其中k<－2.

（x＋2x＋k）＋2（x＋2x＋k）－3

(1)求函数f(x)的定义域D(用区间表示)； (2)讨论函数f(x)在D上的单调性；

(3)若k<－6，求D上满足条件f(x)>f(1)的x的集合(用区间表示)． 12．[2014·四川卷] 设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝

2

－4x＋2，－1≤x<0，3 则f 2＝________． x， 0≤x<1，

3 1 1 1

2－＝f－＝－4 －＋2＝1. 12．1 [解析] 由题意可知，f ＝f 2 2 2 215．，[2014·四川卷] 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成

的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：

①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“ b∈R， a∈D，f(a)＝b”；

2

②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；

③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x) B； x

④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x>－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.

x＋1

其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)

15．①③④ [解析] 若f(x)∈A，则f(x)的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f(a)＝b，故①正确．

取函数f(x)＝x(－1＜x＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M＝1，使得f(x)的值域包含于[－M，M]＝[－1，1]，但此时f(x)没有最大值和最小值，故②错误．

当f(x)∈A时，由①可知，对任意的b∈R，存在a∈D，使得f(a)＝b，所以，当g(x)∈B时，对于函数f(x)＋g(x)，如果存在一个正数M，使得f(x)＋g(x)的值域包含于[－M，M]，那么对于该区间外的某一个b0∈R，一定存在一个a0∈D，使得f(a0)＝b－g(a0)，即f(a0)＋g(a0)＝b0 [－M，M]，故③正确．

x

对于f(x)＝aln(x＋2)(x＞－2)，当a＞0或a＜0时，函数f(x)都没有最大值．要使得函数

x＋1x

f(x)有最大值，只有a＝0，此时f(x)＝ (x＞－2)．

x＋1

111

－，，所以存在正数Mf(x)∈[－M，M]，故④正确． 易知f(x)∈ 222

21．，[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28 为自然对数的

底数．

(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值； (2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围． 21．解：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b. 所以g′(x)＝ex－2a.

当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．

1

当a≤g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，

2因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b； e

当a≥g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，

2因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；

1e

当a<g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0，1)，所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在22区间(ln(2a)，1]上单调递增，

于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.

1

综上所述，当a≤时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；

21e

当a<g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b； 22e

当a≥g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.

2

(2)设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，

则由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．

则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1. 同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2. 故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．

1

由(1)知，当a≤时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；

2e

当a≥g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．

21e<a<.

22

此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增． 因此x1∈(0，ln(2a)]，x2∈(ln(2a)，1)，必有 g(0)＝1－b>0，g(1)＝e－2a－b>0. 由f(1)＝0得a＋b＝e－1<2，

则g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0， 解得e－2<a<1.

当e－2<a<1时，g(x)在区间[0，1]内有最小值g(ln(2a))． 若g(ln(2a))≥0，则g(x)≥0(x∈[0，1])，

从而f(x)在区间[0，1]内单调递增，这与f(0)＝f(1)＝0矛盾，所以g(ln(2a))<0. 又g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0.

故此时g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.

由此可知f(x)在[0，x1]上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在[x2，1]上单调递增． 所以f(x1)>f(0)＝0，f(x2)<f(1)＝0， 故f(x)在(x1，x2)内有零点．

综上可知，a的取值范围是(e－2，1)．

B4 函数的奇偶性与周期性

2 x＋1，x>0，

7．、、[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝ 则下列结论正确的是( )

cos x， x≤0，

A．f(x)是偶函数

B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数

D．f(x)的值域为[－1，＋∞)

7．D [解析] 由函数f(x)的解析式知，f(1)＝2，f(－1)＝cos(－1)＝cos 1，f(1)≠f(－1)，则f(x)不是偶函数；

当x>0时，令f(x)＝x2＋1，则f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f(x)>1；

当x≤0时，f(x)＝cos x，则f(x)在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f(x)∈[－1，1]； ∴函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)． 3．[2014·湖南卷] 已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )

A．－3 B．－1 C．1 D．3

3．C [解析] 因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，

所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1. 3．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，

则下列结论中正确的是( )

A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数

3．C [解析] 由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C.

15．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．

15．(－1，3) [解析] 根据偶函数的性质，易知f(x)>0的解集为(－2，2)，若f(x－1)>0，则－2<x－1<2，解得－1<x<3.

B5 二次函数

ππ

16．、[2014·全国卷] 若函数f(x)＝cos 2x＋asin x在区间 是减函数，则a的取值范围是

62________．

16．(－∞，2] [解析] f(x)＝cos 2x＋asin x＝－2sin2x＋asin x＋1，令sin x＝t，则f(x)＝－2t2＋at1 1ππ

，1，所以f(x)＝－2t2＋at＋1，t∈ ，1 .因为f(x)＝cos 2x＋asin x＋1.因为x∈ ，，所以t∈ 2 2 62在区间

1 ππaa

1上是减函数，又对称轴为x＝，∴≤，是减函数，所以f(x)＝－2t2＋at＋1在区间 2 44 621

，所以a∈(－∞，2]． 2

B6 指数与指数函数 4．、、[2014·福建卷] 若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是(

)

图1-

1

A

B

C D

图1-2

4．B [解析] 由函数y＝logax的图像过点(3，1)，得a＝3.

13

选项A中的函数为y＝ ，则其函数图像不正确；选项B中的函数为y＝x，则其函数图像正确； 3选项C中的函数为y＝(－x)3，则其函数图像不正确；选项D中的函数为y＝log3(－x)，则其函数图像不正确．

3．[2014·江西卷] 已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若f[g(1)]＝1，则a＝( ) A．1 B．2 C．3 D．－1

－

3．A [解析] g(1)＝a－1，由f[g(1)]＝1，得5|a1|＝1，所以|a－1|＝0，故a＝1.

11

3．、[2014·辽宁卷] 已知a＝2b＝log2，

33

11

c＝log，则( )

23

A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a

111111

3．C [解析] 因为0<a＝2－，b＝log2<0，c＝log>log＝1，所以c>a>b.

332322

2．，[2014·山东卷] 设集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝( ) A．[0，2] B．(1，3) C．[1，3) D．(1，4) 2．C [解析] 根据已知得，集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{y|1≤y≤4}，所以A∩B＝{x|1≤x＜3}．故选C.

5．，，[2014·山东卷] 已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是( )

A.

11

B. ln(x2＋1)＞ln(y2＋1) x＋1y＋1

x

C. sin x＞sin y D. x3＞y3

1

5．D [解析] 因为ax＜ay(0＜a＜1)，所以x＞y，所以sin x＞sin y，ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)＞

x＋11

D. y＋1

7．[2014·陕西卷] 下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的单调递增函数是( ) 1

A．f(x)＝x B．f(x)＝x3

21 x

C．f(x)＝ D．f(x)＝3 2

17．B [解析] 由于f(x＋y)＝f(x)f(y)，故排除选项A，C.又f(x)＝ 2为单调递减函数，所以排除选项D.

11．[2014·陕西卷] 已知4a＝2，lg x＝a，则x＝________．

111

11. [解析] 由4a＝2，得alg x＝a，得lg x＝，那么x＝＝10.

222

B7 对数与对数函数 5．，，[2014·山东卷] 已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.

11

B. ln(x2＋1)＞ln(y2＋1) x＋1y＋1

x

x

C. sin x＞sin y D. x3＞y3

1

5．D [解析] 因为ax＜ay(0＜a＜1)，所以x＞y，所以sin x＞sin y，ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)＞

x＋11

D. y＋1

3．，[2014·山东卷] 函数f(x)＝1

0， B．(2，＋∞) A. 2

11

0， ∪(2，＋∞) D. 0，∪[2，＋∞) C. 2 21

( )

（log2x）－1

x＞0，

3．C [解析] 根据题意得， 解得 1故选C. 2

（log）－1＞0， 2 x＞2或x＜.

2

4．、、[2014·福建卷] 若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是(

)

x＞0，

图1-

1

A

B

C D

图1-2

4．B [解析] 由函数y＝logax的图像过点(3，1)，得a＝3.

13

选项A中的函数为y＝ ，则其函数图像不正确；选项B中的函数为y＝x，则其函数图像正确；3 选项C中的函数为y＝(－x)3，则其函数图像不正确；选项D中的函数为y＝log3(－x)，则其函数图像不正确．

13．、[2014·广东卷] 若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋ ＋ln a20＝________．

13．50 [解析] 本题考查了等比数列以及对数的运算性质．∵{an}为等比数列，且a10a11＋a9a12

x

＝2e5，

∴a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，∴a10a11＝e5， ∴ln a1＋ln a2＋ ＋ln a20＝ln(a1a2 a20)＝ ln(a10a11)10＝ln(e5)10＝ln e50＝50.

11

3．、[2014·辽宁卷] 已知a＝2b＝log2，

33

11

c＝log，则( )

23

A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a

111111

3．C [解析] 因为0<a＝2－，b＝log2<0，c＝log>log＝1，所以c>a>b.

332322

1

4．[2014·天津卷] 函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为( )

2A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)

2 x－4>0，

4．D [解析] 要使f(x)单调递增，需有 解得x<－2.

x<0，

7．、[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f(x)

aax的图像可能是(

)

A C 图1-2

图1-2

7．D [解析] 只有选项D符合，此时0<a<1，幂函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且当x∈(0，1)时，f(x)的图像在直线y＝x的上方，对数函数g(x)在(0，＋∞)上为减函数，故选D.

12．[2014·重庆卷] 函数f(x)＝log2x·log2(2x)的最小值为________．

11

12．－[解析] f(x)＝log2 x·2(2x)＝2 x·2log2(2x)＝log2x·(1＋log2x)＝(log2x)2＋log2x

4212121 ＝ log2x＋2－，所以当x时，函数f(x)取得最小值－.

424

B8 幂函数与函数的图像 4．、、[2014·福建卷] 若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是( )

图1-

1

A

B

C D

图1-2

4．B [解析] 由函数y＝logax的图像过点(3，1)，得a＝3.

13

选项A中的函数为y＝ ，则其函数图像不正确；选项B中的函数为y＝x，则其函数图像正确； 3选项C中的函数为y＝(－x)3，则其函数图像不正确；选项D中的函数为y＝log3(－x)，则其函数图像不正确．

1

10．[2014·湖北卷] 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)(|x－a2|＋|x－2a2|－

2

2

3a)．若 x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为( )

1166－ B. － A. 66 66 1133－ D. － C. 33 33

1122

10．B [解析] 因为当x≥0时，f(x)＝|x－a|＋|x－2a|－3a2)，所以当0≤x≤a2时，f(x)＝

22

(a2－x＋2a2－x－3a2)＝－x；

当a2<x<2a2时，

1222

f(x)＝(x－a＋2a－x－3a)＝－a2；

2

当x≥2a2时，

1222

f(x)＝(x－a＋x－2a－3a)＝x－3a2.

2

2

－x，0≤x≤a，

x

22

2

综上，f(x)＝ －a，a<x<2a，

x－3a2，x≥2a2.

因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下，

观察图象可知，要使 x∈R，f(x－1)≤f(x)，则需满足2a2－(－4a2)≤1，解得－B.

66

a≤故选66

8．[2014·山东卷] 已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则

实数k的取值范围是( )

11

0， B. 1 C. (1，2) D. (2，＋∞) A. 2 2

8．B [解析] 画出函数f(x)的图像，如图所示．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实数，则函数1

f(x)，g(x)有两个交点，则k，且k＜1.故选

B.

2

7．、[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f(x)

aax的图像可能是(

)

A C 图1-2

图1-2

7．D [解析] 只有选项D符合，此时0<a<1，幂函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且当x∈(0，1)时，f(x)的图像在直线y＝x的上方，对数函数g(x)在(0，＋∞)上为减函数，故选D.

B9 函数与方程

1

10．、[2014·湖南卷] 已知函数f(x)＝x2＋ex－(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图像上存在关于y轴对

2

称的点，则a的取值范围是( )

1

A．() B．(－∞，e)

e

11C. －e D. e，

ee

10．B [解析] 依题意，设存在P(－m，n)在f(x)的图像上，则Q(m，n)在g(x)的图像上，则有

111－－－

m2＋emm2＋ln(m＋a)，解得m＋a＝eem－，即a＝eem－m(m＞0)，可得a∈(－∞，e)．

222

2

14．[2014·天津卷] 已知函数f(x)＝|x＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．

14．(0，1)∪(9，＋∞) [解析] 在同一坐标系内分别作出y＝f(x)与y＝a|x－1|的图像如图所示．当

2

－ax＋a＝－x－3x，

y＝a|x－1|与y＝f(x)的图像相切时，由 整理得x2＋(3－a)x＋a＝0，则Δ＝(3－a)2

a>0，

－4a＝a2－10a＋9＝0，解得a＝1或a＝9.故当y＝a|x－1|与y＝f(x)的图像有四个交点时，0<a<1或a

>9.

6．[2014·浙江卷] 已知函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c，且0<f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则( ) A．c≤3 B．3<c≤6 C．6<c≤9 D．c>9

－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c，

6．C [解析] 由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得

－8＋4a－2b＋c＝－27＋9a－3b＋c

－7＋3a－b＝0， a＝6， 则f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c，而0<f(－1)≤3，故0<－6＋c≤3， 19－5a＋b＝0 b＝11， ∴6<c≤9，故选C.

B10 函数模型及其应用 8．[2014·湖南卷] 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )

p＋q（p＋1）（q＋1）－1 B.

22

pq D.（p＋1）（q＋1）－1

8．D [解析] 设年平均增长率为x，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝（1＋p）（1＋q）－1.

10．[2014·陕西卷] 如图1-2，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 ( )

图1-2

1324

A．y＝x3x B．y＝x3－x

12551255331

C．y＝x3－x D．y＝－x3＋x

1251255

10．A [解析] 设该三次函数的解析式为y＝ax3＋bx2＋cx＋d.因为函数的图像经过点(0，0)，所

以d＝0，所以y＝ax3＋bx2＋cx.又函数过点(－5，2)，(5，－2)，则该函数是奇函数，故b＝0，所以y＝ax3＋cx，代入点(－5，2)得－125a－5c＝2.又由该函数的图像在点(－5，2)处的切线平行于x轴，y′

a＝125， －125a－5c＝2，

＝3ax＋c，得当x＝－5时，y′＝75a＋c＝0.联立 解得 故该三次函数的解

3 75a＋c＝0，

c＝－52

1

13

析式为y＝3－x.

1255

B11 导数及其运算 18．、[2014·安徽卷] 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；

(2)当x∈[0，1]时 ，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值． 18．解： (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， f′(x)＝1＋a－2x－3x2.

－14＋3a

令f′(x)＝0，得x1＝，

3－14＋3ax2＝，x1<x2，

3所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)． 当x<x1或x>x2时，f′(x)<0； 当x1<x<x2时，f′(x)>0.

－1－4＋3a －1＋＋3a

故f(x)在 －∞， 和 ，＋∞ 内单调递减，

33 在

－14＋3a－14＋3a内单调递增．

33

(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0，

①当a≥4时，x2≥1.

由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，

所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0<a<4时，x2<1.

由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减， －14＋3a

所以f(x)在x＝x2＝

3

又f(0)＝1，f(1)＝a，

所以当0<a<1时，f(x)在x＝1处取得最小值；

当a＝1时，f(x)在x＝0和x＝1处同时取得最小值； 当1<a<4时，f(x)在x＝0处取得最小值． 21．、、[2014·安徽卷] 设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*. (1)证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋px；

(2)数列{a1p－1c－n}满足a1＞p1

pan＋1＝pn＋p1n，证明：an＞an＋1＞cp

. 21．证明：(1)用数学归纳法证明如下．

①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立． ②假设p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立．

当p＝k＋1时，(1＋x)k＋

1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x. 所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．

综合①②可得，当x>－1，x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1＋x)p>1＋px均成立．(2)方法一：先用数学归纳法证明ac1

n>p①当n＝1时，由题设知a1

1>cp

1

②假设n＝k(k≥1，k∈N*

)时，不等式ak>c成立． 由a＝p－1pac－n＋1n＋p1np易知an>0，n∈N*

. 当n＝k＋1时，ak＋1p－1c－pa＝pak＝

kp11cp a－1 k

. 由a111ck>cp>0得－1<－p<p a－1 k

<0. p

p

由(1)中的结论得 ak＋1 a ＝ k 1＋1p c a－1 k >1＋p· 1p c a1 k ＝cak. 因此ap1

k＋1>c，即ak＋1>cp

， 所以当n＝k＋1时，不等式a1

n>cp

也成立．

综合①②可得，对一切正整数n，不等式a1

n>cp均成立．

再由an＋1a1＋1 cnp a－1 n 可得an＋1an， 即an＋1<an.

综上所述，aa1

n>n＋1>n∈N*p

.

方法二：设f(x)p－1px＋c1－p1

px，x≥cp

，则xp≥c，

所以f′(x)＝

p－1cp－1 c－

1－>0. (1－p)xp＝

ppp x1111

由此可得，f(x)在[，＋∞)上单调递增，因而，当x>cf(x)>f(c＝cpppp1

①当n＝1时，由a1>c>0，即ap1>c可知 p

p－11cc1－p11 1<a1，并且a2＝f(a1)>c，从而可得a1>a2> a2＝1＋1＝a1 1pa1 pp pp1

故当n＝1时，不等式an>an＋1>c成立．

p

11

②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式ak>ak＋1>c成立，则当n＝k＋1时，f(ak)>f(ak＋1)>f(c，

pp1

即有ak＋1>ak＋2>c

p

所以当n＝k＋1时，原不等式也成立．

1

综合①②可得，对一切正整数n，不等式an>an＋1>c

p

20．、[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.

(1)求a的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x>0时，x2<ex；

(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex. 20．解：方法一：(1)由f(x)＝ex－ax，得f ′(x)＝ex－a. 又f ′(0)＝1－a＝－1，得a＝2. 所以f(x)＝ex－2x，f ′(x)＝ex－2. 令f ′(x)＝0，得x＝ln 2.

当x<ln 2时，f ′(x)<0，f(x)单调递减； 当x>ln 2时，f ′(x)>0，f(x)单调递增． 所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，

且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4， f(x)无极大值．

(2)证明：令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x. 由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4>0， 故g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1>0， 所以当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2<ex.

(3)证明：①若c≥1，则ex≤cex.又由(2)知，当x>0时，x2<ex. 故当x>0时，x2<cex.

取x0＝0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex.

1

②若0<c<1，令k＝，要使不等式x2<cex成立，只要ex>kx2成立．

c而要使ex>kx2成立，则只要x>ln(kx2)，只要x>2ln x＋ln k成立． 2x－2

令h(x)＝x－2ln x－ln k，则h′(x)＝1－.

xx所以当x>2时，h′(x)>0，h(x)在(2，＋∞)内单调递增．

取x0＝16k>16，所以h(x)在(x0，＋∞)内单调递增．

又h(x0)＝16k－2ln(16k)－ln k＝8(k－ln 2)＋3(k－ln k)＋5k， 易知k>ln k，k>ln 2，5k>0，所以h(x0)>0. 16

即存在x0＝，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex.

c

综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex. 方法二：(1)同方法一． (2)同方法一．

4

(3)对任意给定的正数c，取x0＝

cxx x2 x 2

由(2)知，当x>0时，e>x，所以e＝e·e> 2· 2 ，

22

x

2

x

x x 4 x 12

当x>x0时，e> 2 2 >c 2 ＝c，

x

222

因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex. 方法三：(1)同方法一． (2)同方法一．

1

(3)首先证明当x∈(0，＋∞)3<ex.

3证明如下：

1

令h(x)＝3－ex，则h′(x)＝x2－ex.

3

由(2)知，当x>0时，x2<ex，

从而h′(x)<0，h(x)在(0，＋∞)上单调递减， 1

所以h(x)<h(0)＝－1<0，即x3<ex.

3311

取x0＝，当x>x0时，有2<x3<ex.

cc3

因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex.

－

10．、[2014·广东卷] 曲线y＝e5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．

－

10．y＝－5x＋3 [解析] 本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y′＝－5e5x，所以切线的斜率k＝－5e0＝－5，所以切线方程是：y－3＝－5(x－0)，即y＝－5x＋3.

－

13．[2014·江西卷] 若曲线y＝ex上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．

－

13．(－ln 2，2) [解析] 设点P的坐标为(x0，y0)，y′＝－ex.又切线平行于直线2x＋y＋1＝0，所以－e－x0＝－2，可得x0＝－ln 2，此时y＝2，所以点P的坐标为(－ln 2，2)．

18．、[2014·江西卷] 已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b)1－2x(b∈R)． (1)当b＝4时，求f(x)的极值；

1

0， 上单调递增，求b的取值范围． (2)若f(x)在区间 3

－5x（x＋2）

18．解：(1)当b＝4时，f′(x)＝，由f′(x)＝0，得x＝－2或x＝0.

1－2x

10， 所以当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈ 2

时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x＝－2处取得极小值f(－2)＝0，在x＝0处取得极大值f(0)＝4.

－x[5x＋（3b－2）]1－x

0时，(2)f′(x)＝x∈ ， 31－2x1－2x

151

0时，有5x＋(3b－2)≤0，从而＋(3b－2)≤0，得b≤. 依题意当x∈ 3391

. 所以b的取值范围为 9

7．[2014·全国卷] 曲线y＝xex1在点(1，1)处切线的斜率等于( )

A．2e B．e C．2 D．1

－－－－－

7．C [解析] 因为y′＝(xex1)′＝ex1＋xex1，所以y＝xex1在点(1，1)处的导数是y′|x＝1＝e11＋e1

－1－

＝2，故曲线y＝xex1在点(1，1)处的切线斜率是2. 8．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( ) A．0 B．1 C．2 D．3

1

8．D [解析] y′＝a－x＝0时，y′＝2，代入解得a＝3.

x＋1

21．，，，[2014·陕西卷] 设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数． (1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式； (2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；

(3)设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋ ＋g(n)与n－f(n)的大小，并加以证明．

－

x

21．解：由题设得，g(x)＝(x≥0)．

1＋x(1)由已知，g1(x)＝

x， 1＋x

x1＋xx

g2(x)＝g(g1(x))＝，

x1＋2x1＋1＋xg3(x)＝

xxgn(x)＝. 1＋3x1＋nx

下面用数学归纳法证明．

x①当n＝1时，g1(x)＝

1＋xx

②假设n＝k时结论成立，即gk(x)＝1＋kx

x1＋kxgk（x）x

那么，当n＝k＋1时，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝＝＝

x1＋gk（x）1＋（k＋1）x1＋

1＋kx由①②可知，结论对n∈N＋成立． (2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥ax

设φ(x)＝ln(1＋x)－x≥0)，

1＋x

ax

1＋x