平面四边形网格自动生成方法研究

常见网格的优缺点

平面四边形网格自动生成方法研究

理力09-1 王宇晖

常见网格的优缺点

目录 一、网格单元自适应生成算法 二、网格划分要求 三、网格剖分与剖分方法 四、三角形与四边形网格的比较 五、 Delaunay三角剖分逐点插入法 六、栅格法(新) 七、四叉树 八、铺砌法 九、结构优化设计分类 十、全四边形有限元网格的拓扑优化策略 十一、四边形网格基区拼合法 十二、映射法 十三、自动生成三角形网格并转化 为四边形网格的算法 参考文献

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一、网格单元自适应生成算法[1][2]两种分类模式1、按照生成单元的类型 生成结构化网格

生成非结构化网格

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⑴从严格意义上讲，结构化网格是指网格区域内 所有的内部点都具有相同的毗邻单元。它可以很容易地 实现区域的边界拟合，适于流体和表面应力集中等方面 的计算。它的主要优点是：1、网格生成的速度快。2、 网格生成的质量好。3、数据结构简单。 对曲面或空间的拟合大多数采用参数化或样条插 值的方法得到，区域光滑，与实际的模型更容易接近。 它的最典型的缺点是适用的范围比较窄，只适用于形状 规则的图形。尤其随着近几年的计算机和数值方法的快 速发展，人们对求解区域的几何形状的复杂性的要求越 来越高，在这种情况下，结构化网格生成技术就显得力 不从心了。 ⑵同结构化网格的定义相对应，非结构化网格是 指网格区域内的内部点不具有相同的毗邻单元。即与网 格剖分区域内的不同内点相连的网格数目不同。从定义 上可以看出，结构化网格和非结构化网格有相互重叠的 部分，即非结构化网格中可能会包含结构化网格的部分。

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非结构化网格主要是弥补结构化网格不能够解决 任意形状和任意联通区域剖分的欠缺。从现在的文献调 查的情况来看，非结构化网格生成拘束中只有平面三角 形的自动生成技术比较成熟(边界的恢复问题仍然是一 个难题，现在正在广泛讨论),平面四边形网格的生成 技术正在走向成熟。而空间任意曲面的三角形、四边形 网格的生成，三维任意集合形状几何实体的四面体网格 和六面体网格的生成技术还远远没有达到成熟。非结构化网格生成技术从生成网格的方法来区分 主要有Delaunay准则和前波发以及四边形的直接法和 间接法。

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①对平面三角形网格生成方法，比较成熟的是基 于Delaunay准则的一类网格剖分方法和前波发的网格 生成方法。 基于Delaunay准则的网格生成方法的有点是速度 快，网格的尺寸比较容易控制。缺点是对边界的恢复比 较困难，很可能造成网格生成的失败，对这个问题的解 决方法现在正在讨论之中。 波

前法的优点是对区域辩解拟合 的比较好，所以 在流体力学等对区域辩解要求比较高的情况下，常常采 用这种方法。缺点是对区域内部的网格生成的质量比较 差，生成的速度比较慢。

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②平面四边形网格的生成方法有两类主要的方法。 一类是间接法，即在区域内部先生成三角形网格， 然后分别将两个相邻的三角形合并成为一个四边形。生 成的四边形的内角很难保证接近直角。所以再采用一些 相应的修正方法加以修正。间接法优点是首先就得到了 区域内的整体的网格尺寸的信息，对四边形网格尺寸梯 度的控制一直是四边形网格生成技术的难点。缺点是生 成的网格质量相对比较差，需要多次的修正，同时需要 首先生成三角形网格，生成的速度也比较慢，程序的工 作量大。 另外一类是直接法，二维的情况称为铺砖法。采 用从区域的边界到区域的内部逐层剖分的方法。这种方 法到现在已经逐渐替代间接法而称为四边形网格的主要 生成方法。它的优点是生成的四边形的网格质量好，对 区域边界的拟合比较好，最适合 流体力学的计算。缺 点是生成的速度慢，程序设计复杂。

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2、按照单元节点生成的先后顺序

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[3] 二、网格划分要求有限元网格生成就是将工作环境下的物体离散成单元的 过程。 网格划分应遵循以下原则 1、合法性。一个单元的节点不能落入其他单元内部，在 单元边界上的节点均应作为单元的节点，不可丢弃。 2、 相容性。单元必须落在待分区域内部，不能落入外 部，且单元并集等于待分区域。 3、协调性。单元上的力和力矩能够通过节点传递给相 邻单元。为保证单元协调，必须满足：一个单元的节点必须 同时也是相邻单元的节点，而不应是内点或边界点；相邻单 元的共有节点具有相同的自由度性质，即自由度必须匹配。

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4、逼近精确性。待分区域的顶点(包括特殊点)必须 是单元的节点，待分区域的边界(包括特殊边及面)被单元 边界所逼近。 5、良好的单元形状。单元最佳形状是正多边形或正多 面体。 6、良好的划分过渡性。单元之间过渡应相对平稳，否 则将影响计算结果的准确性甚至使有限元计算无法进行下去。 7、网格划分的自适应行。在集合尖角处、应力、温度 等变化大的地方网格应密，其他部位应较稀疏，这样可以保 证计算结果精确可靠。 8、一致性。对于相连的两个二次单元，单元角点只能 与单元角点连接，而不能与相邻单元的中间节点连接：相邻 单元的公共边应具有相同的节点数，当采用混合单元(线性 单元与高阶单元)类型时有必要从一个单元中除去中间节点。

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三、网格剖分准备与剖分

方法1、准备(1)确定合适的网格密度 (2)单元形状与类型的选则 2、方法、 (1)网格直接生成法

(2)由几何实体生成网格法

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四、三角形与四边形网格的比较有限元法，对结构分析域完全采用三角形网格来 进行计算，无论对于多么复杂的几何形状，用 Delaunay准则均能自动的生成形状良好的三角形或四 面体，根本不会存在网格划分的困难。但有限元法里的 三角形单元和四面体单元是常应变单元，计算精度很低。 所以使用三角形单元的地方网格划分得相对密一些。四边形单元的应变是一次函数关系，精度要高。 但对边界条件的适应不如三角形好。

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Delaunay三角网生成总结准则一：Delaunay三角剖分，即在生成的三角网 格中，各三角形的最小内角和为最大(此准则目前研究 应用最广)。准则二：在生成的三角网格中，所有三角形的边 长和最小。 逐点插入法算法实现简单，时间效率比较高，运 行占用的空间较小，从时间效率和空间效率综合考虑， 性价比最好，因而应用广泛。 分治算法和三角网生长法都有缺陷，已基本不再 使用。

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五、Delaunay三角剖分逐点插入法1、Delaunay三角网的性质

(1)Delaunay三角网是唯一的；(2)三角网的外边界构成了点集P的凸多边形 “外壳”;

(3)没有任何点在三角形的外接圆内部，反之， 如果一个三角网满足此条件，那么它就是Delaunay三 角网； (4)如果将三角网中的每个三角形的最小角进行 升序排列，则Delaunay三角网的排列得到的数值最大， 从这个意义上讲，Delaunay三角网是“最接近于规则 化”的三角网。

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2、逐点插入法的基本步骤 (1)定义一个包含所有数据点的初始多边形； (2)在初始多边形中建立初始三角网，然后迭代 以下步骤，直至所有数据点被处理；

(3)插入一个数据点P,在三角网中找出包含P点 的三角形，把P点与三角形的三个顶点相连，生成新的 三角形；(4)用LOP算法优化三角网。该算法基本含义： 对由两个公共边组成的四边形进行判断，如果其中一个 三角形的外接圆包含第四个点，则将这个四边形的对角 线交换。

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六、栅格法(新)

[6]

通常的栅格法是在划分区域内生成正方形栅格以 后，在栅格的边界节点和区域边界节点之间生成四边形 单元，当栅格边界节点与相应的区域边界节点不匹配时， 只能生成四边形和三角形的混合网格。本文算法是在区 域内部栅格生成以后，根据栅格边界上的节点数和区域 边界上事先定义的节点数修正栅格域的边界单元数量， 然后生成边界单元。这样可以在整个划分区域内得到全 部质量良好的网格。