军用装备的定点投放(3)

意味着重物与伞绳中张力在拉直过程中所作功近似为零，忽略伞的阻力所作的功，则上式简化为：

FLy

3问题三模型的建立：

3.1安全系数

进行土木、机械等工程设计时，为了防止因材料的缺点、工作的偏差、外力的突增等因素所引起的后果，工程的受力部分实际上能够担负的力必须大于其容许担负的力，二者之比叫做安全系数,即极限应力与许用应力之比。也指做某事的安全、可靠程度。

由上面的分析可知，当从某一确定的高度将军用装备通过降落伞投放时，所需的降落伞的受力面积是相同的，假设面积相等的N个小伞与一个大伞的受力效果是相同的。一方面，对降落伞受力分析可知，由于物体所受总的空气阻力是不变的，假设若N个相同大小的小伞与一个大伞的面积相同，则每个小伞缆绳所承受的力为原来大伞所承受的力的

1

N

，当N增加时，每个小伞所承受的力将减小，即每个伞的缆绳所承受的拉力减小，下降过程的安全度将提高。另一方面，当N增加时，N个小伞所填充的总的空气的体积将减小，在问题一的分析中可知，在降落伞下降的第二个阶段，N减小导致填充空气的质量减小，降落伞打开过程的减速效果将降低，因此下降过程的安全度将减小。假设用一个大降落伞在打开后瞬间的速度为v1，若用等面积的N个小伞

打开瞬间的速度为v2。因此，伞的大小和数量要适中，既不能太小，也不能太大，取

一个相对最优的值，使降落伞的降落过程最安全。困此，我们引入安全系数 的定义：。

kFmax FN1

kvmax v

NF2 maxvmax其中k1,k2

分别为缆绳承受力与速度影响安全度的权重系数，下面由层次分析法可

以求解出各自的权重。

3.2 层次分析法一般理论步骤：

层次分析[4]（AHP）模型的建立

立体层次结构；

①最高层：即预定目标或理想结果。

②中间层：为实现目标所涉及的中间环节。

③最底层：为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等。

⑵确定准则层对目标层的权重W1；

采取对n个因子X {x1

, ,xn

}进行两两比较建立成对比较矩阵的办法[4]，用

矩阵A (aij)n n表示，xi与xj对Z的影响之比为aij。

⑶一致矩阵和一致性检验；

A的最大特征值 max n，其中n为矩阵A的阶。A的其余特征根均为零。其对应

的特征向量为W (wT

aij

wi1, ,wn)，则

wj

， i,j 1,2, ,n，即

ww 11

w1

w1www2n A w22

w 2 w1

w2w n

wnwn w wn 1

w2

w

n 由此可以由 max是否等于n来检验判断矩阵A是否为一致矩阵。对判断矩阵的一致性检验的步骤如下：

ax n

计算一致性指标

CI

mn 1，计算一致性比例CR

CI

RI，当CR 0.10时，认为

判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。

3.3 利用层次分析法求解

k1,k2

○

1构造比较矩阵 由问题的给出条件可知，影响降落安全的因素缆绳承受力与降落伞速度是依次排列的，这两项因素对目标决策的影响也是依次排列的，且任意两项的影响程度之差可以认为基本相等。【见附录4.2】因此，确定比较矩阵为：

A 1 1

3

是一个2阶正互反矩阵。

②计算比较矩阵的特征值和特征向量可以求出最大的特征值：dmax=2，及其对应的最大特征向量（标准化）c， w11=（0.25，0.75）T。

③一致性检验

由于比较矩阵的阶数为2，其平均随机一致性指标为RI=0，CI=(dmax-2)/(2-1)=0,于是比较矩阵A是一致阵，即矩阵A的构造是合理的。即求得k1 0.25，k2 0.75。由此可得优化过程的目标函数为：

0.25

Fmax FNvF 0.75max v

Nv maxmax

若N个小伞的面积与一个大伞的面积相同，则其缆绳所受到的力为原缆绳受力的

1

N

，即 Fmax FNN 1

F

N

max假设一个大伞时，大伞的半径为R,填充空气的体积为V1质量为M1，N个小伞时，小伞的半径为r，填充空气的体积为V2质量为M2，下面求解N个小伞时所填充的空气的质量：

由大伞的面积与N个小伞的面积相等得：

N·2 r2

2

R2

r

大伞与N个小伞所填充的空气质量分别为：

M2

1

3 R3 2R23

M2 N ()23N

由动量守恒可得各自的速度为：

vmm

max m Mgt0vmax 1mgt0

vm

N m Mgt0vN 23

0 2m 23N (R

N)2

由以上计算可以得到安全系数关于小伞的数量N的函数表达式为：

11

2332Rm Rm N ()2

N 13 0.25 0.75

1N

m R3

由问题1可知，要使降落伞能够在限定的条件内安全落地，需满足的条件为：

D1

mg mf f mf CD v2 (0)2

22

DS (0)2

2

查阅相关数据可知，阻力系数取k 2.9；解之可得各种不同型号的军用物资所需要的伞的面积为：

问题3的求解 0.25N 1max

N

4问题四模型的建立

对于某一特定的区域，其间的风力，风向在短时间内一个恒定的值，且不考虑其随高度的变化，压强与温度，在某一特定区域内是随高度的变化而变化的，同样假设其在相同的高度，短时间内恒定不变。

五、模型的求解

1问题一模型的求解

通过上述分析可得，要使降落伞能够安全的将军用物资运送到指定地点，与其相关的因素有：

需要运送物资的质量，降落伞完全撑开后的半径，空投物资时的高度等。各因素之间要满足的条件

为：

（1） 下降总高度小于投放高度：H1 H2 H3 H

（2） 落地时速度小于5m/s

要使其能安全的将军用装备投放，则其因素应满足的函数关系为：

mggt (gH 1t2

(tg1 t0)(t1 t0) 00 5e5 (t0 t1)g 5)/(e5

1)

m 2 r

3

510 3 5

m gks

6.2问题2模型 的求解

将问题2 求得的数据代入安全系数的表达式，根据求解安全系数 的最优值（见附录1.1和1.2），可求得各不同型号的物资需要的伞的数量和大小，见下表：

假设投放高度为H，落点为M，落点与飞机空投点的水平距离L，阻力系数取k 2.9，空气密度取1.2kg/m3。下面以A类物资的投放过程为例，说明以上问题。

查阅资料可知，当飞机空投物资时，不能与目标点距离过远，一般飞机的空投点距离理想落点的水平距离为25-35km，我们取距离L=30km。当不考虑各种因素的影响时，水平方向上可以看做是匀速运动，假设飞机的速度为250m/s，即降落伞下降过程中水平方向上的速度为250m/s，

为使降落伞可以安全到达预定地点，则总的运动时间为t 120s，假设降落伞下降过程中的第一个阶段持续时间为9s，则第一阶段的下降距离为396.9m，此时的速度为88.2m/s，伞撑开的过程

中由动量守恒得伞撑开后的速度为vm

2R231 m Mv0，

下面计算空气质量M 3N (N)2，代入数据后高度为求得：M＝23792.0kg。查阅资料得伞撑开的过程经历时间为1s，则此过程下降的

H2 78.4m，

考虑第三个阶段，v=4.748 + 0.125110e-2.106 t,当减速为5m/S时的时间为11.7s，此阶段的降落距离为H3 47.7,到第四个阶 …… 此处隐藏：2682字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……