11.振动 大学物理习题答案

大学物理习题答案(南航版)

11-1一物体作简谐运动的曲线如图11-1所示，试求其运动方程。 解：设振动方程为x Acos( t )，A 4 10

由旋转矢量法知 ，

2

m

34 /4

， 0.52

3

x 4 10 2cos(t )

24

11-2一质量为0.02kg的弹簧振子沿x轴作谐振动，振幅为0.12m，周期为2s。当t＝0时，振子位于0.06m处，并向x轴正方向运动，试求：（1）试用旋转矢量法确定初位相并写出运动方程；（2）t＝0.5s时的位置，速度和加速度；（3）从x＝－0.06m处向x轴负方向运动再回到平衡位置所需时间。

2 2

， ， x 0.12cos( t 3T23

dx dv

（2）v 0.12 sin( t ，a 0.12 2cos( t

dt3dt3

解：（1）由旋转矢量法知

t 0.5s，x 0.1039m，v 0.1885m/s，a 1.03m/s2 （3）t

/3 /25 /65

s

6

11-3如图11-3所示，水平轻质弹簧一端固定，另一端所系轻绳绕过一滑轮垂挂一质量为m的物体。若弹

簧劲度系数为k，滑轮半径为R，转动量为J。（1）证明物体作简谐振动；（2）求振动周期；（3）设t＝0时弹簧无伸缩，物体由静止下落，写出物体的运动方程。 解：（1）取系统的静平衡位置为坐标原点，向下为正。

弹簧的初始变形量 x0

mg

。 k

分别取重物、滑轮和弹簧为研究对象，则有

d2xd2x/dt2

mg T1 m，(T1 T2)R J , ，

T2 k(x x02

Rdtd2xk

由上述方程可解得： x 0 所以物体作简谐振动。 22

dtm J/R

（2）

k2 m J/R2，T 2 2

km J/R

mgkmg

， 。 x cos(t ) kkm J/R2

（3）t 0，v0 0，A x0

11-4一质量为m的小球在一个光滑的半径为R的球形碗底作微小振动，如图11-4所示。设t＝0时， ＝0，

小球的速度为v0，并向右运动。求在振幅很小的情况下，小球的运动方程。 解：在切向应用牛顿定律

大学物理习题答案(南航版)

d2 d2 g

mgsin mat mR，sin ， 0 22

Rdtdt

设运动方程为 mcos( t )， t 0， 0，且向右运动

2 0(v0/R)2v 2

。 m 0 2 0 0

2g/R gR

v0gR

cos(

g

t ) R2

11-5一弹簧振子作简谐振动，振幅A＝0.20m，如果弹簧的劲度系数k＝2.0N/m，所系的物体质量m＝0.50kg，

求：（1）当动能和势能相等时，物体的位移是多少？（2）设t＝0时，物体在正最大位移处，则在一个周期内达到动能和势能相等处所需的时间是多少？ 解：（1）EP

A0.212111

0.14m kx E kA2，x2 A2，x

224222k m

2.0

21/s。t 0.5

（2）

1

3 5 7 ，t1 0.39s； 2 ，t2 1.18s； 3 ，t3 1.96s； 4 ，t4 2.75s； 4444

－－

11-6质量为0.01kg的物体，以振幅1.0 102m作简谐运动，其最大加速度为4.0m·s2。求：（1）振动的周

期；（2）物体通过平衡位置时的总能量和动能；（3）当物体的位移大小为振幅的一半时，动能和势能各占总能量的多少？ 解：（1）am A ，

2

am4.02 2

201/s，T 0.314s 2A 201 10

1112

mvm m(A )2 0.01 (1.0 10 2 20)2 2.0 10 4J 222

121A211213

（3）EP kx k( kA E，Ek E

2224244

（2）在平衡位置 E Ek

11-7两个同方向的简谐振动，其运动方程分别为 x1 0.05cos(10t

31 )，x2 0.06cos(10t ) 44

（1）求它们合成振动的振幅和初相位；

（2）若另有一振动x3 0.07cos(10t 3)，则 3为多少时，x1+x3的振幅最大？又 3为多少时，x2+x3的振幅最小？ 解：（1）A

A12 A22 2A1A2cos( 2 1)

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0.052 0.062 2 0.05 0.06cos(

0.05sin

3

0.078m 44

3 0.06sin

Asin 1 A2sin 2 11.00， 84.8 1.48rad tan 1

3A1cos 1 A2cos 2

0.05cos 0.06cos

443

（2） 3 1 2k ， 3 2k ，k 0, 1, 2 ；

4

5

3 2 (2k 1) ， 3 2k ，k 0, 1, 2 。

4

11-8有两个同方向同频率的简谐运动，其合成振动的振幅为0.20m，合振动的相位与第一个振动的相位差

为π/6，第一个振动的振幅为0.173m，求第二个振动的振幅及两振动的相位差。

2

解：A2 A12 A2 2A1Acos

2

2

2

0.1732 0.22 2 0.173 0.2 cos30 0.01，A2 0.1m 6

A A1 A2 2A1A2cos( 2 1)

2

A2 (A12 A2)0.22 (0.1732 0.12)

cos( 2 1) 0， 2 1 。

22A1A22 0.173 0.1

11-9图11-9表示两个同方向、同频率的简谐振动曲线，其频率为 ，分别求出（a）和（b）情形时：（1）

合振动振幅；（2）合振动的振动方程。

解：(a) 2 1 ，A |A2 A1|，x |A2 A1|cos( t

(b) 2 1

)(A2 A1) 2

22 1A122 1A1

，A A1 A2， tan，x A1 A2cos( t tan)

A2A22

11-10质量为0.4kg的质点同时参与相互垂直的两个谐振动： x1 0.08cos(

t )，x2 0.06cos(t ) 3633

求：（1）质点的轨迹方程；（2）质点在任一位置所受的力。 解：（1）设 x A1cos( t 1)，y A2cos( t 2)，消去t得

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x2y22xy

2 2 cos( 2 1) sin2( 2 1)

A1A2A1A2

将A1 0.08，A2 0.06， 1

， 2 代入上式，则 63

x2y2

1 正椭圆 22

0.080.06

（2）Fx max mA1 2cos( t

) m 2x，Fy m 2y 6

2 22 F Fxi Fyj m (xi yj) m r 0.4 2r 0.44r

3