Hs中带位势的高阶非线性Schrōdinger方程的适定性

华中科技大学硕士学位论文

Hs中带位势的高阶非线性Schr¨odinger方程的适定性

姓名：黄秀良申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：郑权2011-05-19

摘要

量子力学是上个世纪最重要的科学发现之一，它的基本方程是Schr¨odinger方程。正因为Schr¨odinger方程有如此深厚的物理背景，近百年来对它及其对应的Schr¨odinger算子的研究一直都是人们关注的热点。这些研究主要集中在对其解的Lp Lq估计，局部光滑估计，Strichartz估计等及其对应的Schr¨odinger算子的自伴性，谱理论，散射理论等。本文所考虑的Schr¨odinger方程解的适定性，描述了粒子在一定时间内的稳定性态，同样有着极其重要的物理意义。对于非线性Schr¨odinger方程在Hs(Rn)中的适定性问题，Kato等人最先对其进行了研究，并由T.Cazenave等得到了局部适定时s的最优条件。而对于高阶非线性Schr¨odinger方程的适定性的研究，现有的成果并不多，特别是对带位势的情形，还有很多问题等着人们去解决。本文的主要工作是研究当位势V(x,t)满足适当的条件时，带位势的高阶非线性Schr¨odinger方程在Hs(Rn)中的局部适定性。全文分为三章，第一章是绪论，阐述Schr¨odinger方程的物理背景及前人对Schr¨odinger方程在Hs(Rn)的适定性的研究成果。第二章为预备知识，介绍关于高阶Schr¨odinger方程的一些估计，为第三章主要定理的证明做准备。第三章是对本文的主要结论的叙述和证明，主要考虑在一定的位势条件下，带位势的高阶非线性Schr¨odinger方程在Hs(Rn)中的局部适定性。在证明过程中，通过构造适当的作用空间，结合Strichartz估计，利用Banach不动点定理来证明所要得到的主要结果。

关键词：Schr¨odinger方程，Schr¨odinger容许对，局部适定性，位势

Abstract

Quantummechanicsisoneofthemostimportantscienti cdiscoveryinthelastcentury,whosebasicequationistheSchr¨odingerequation.BecauseofSchr¨odingerequationhassuchastrongphysicalbackground,thestudyofwhichandthecorrespondingSchr¨odingeropera-torhasbeenthefocusofattentioninthepastcentury.ThesestudiesfocusedontheLp Lqestimates,localsmoothingestimates,StrichartzestimatesofthesolutionofSchr¨odingerequationandtheself-adjoint,spectraltheory,scatteringtheoryoftheSchr¨odingeroperators.TheposednessofSchr¨odingerequationstudiedinthisthesis,describesthestabilityofthestateoftheparticleinacertainperiodoftime,whichhasimportantphysicalmeaning.Thewell-posednessfornonlinearSchr¨odingerequationinHs(Rn),whichwasstudiedbyKatoat rst.ThebestconditionofswasobtainedbyT.Cazenave,whenthesolutionofnonlinearSchr¨odingerequationislocalwell-posednessinHs(Rn).However,theresearchresultsofthewell-posednessforhigh-orderSchr¨odingerequationarenotsomuch.Especiallyforthecasewithpotential,therearestillmanyproblemswaitingtobesolved.ThemainworkistostudywhenthepotentialsV(x,t)satisfysuitableconditions,thelocalwell-posednessforhigher-ordernonlinearSchr¨odingerequationswithpotentialsinHs(Rn).

Thewholethesiswillbeintothreechapters.The rstchapterisanintroductiontoex-plainthephysicalbackgroundofSchr¨odingerequationandrelatedresultsonwell-posednessinHs(Rn)whicharepresented.Thesecondchapterispriorknowledge,describingsomeestimatesofhigher-orderSchr¨odingerequations,whichpreparetheproofofthethirdchapter.Thethirdchapteristhedescriptionandproofofthemainconclusionsofthisthesis,whichconsidersthelocalwell-posednessforhigher-ordernonlinearSchr¨odingerequationsinwithpotentialsHs(Rn)，whenthepotentialssatisfysuitableconditions.Inademonstration,byconstructingtheroleofspace,combinedwithStrichartzestimates,usingBanach xedpointtheoremtoprovethemainresultstobeobtained.

Keywords:Schr¨odingerequation,Schr¨odingeradmissiblecouples,localwell-posedness,

potential

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1绪论

量子力学是上个世纪物理学中最重要的科学发现之一，其奠定基础是Schr¨odinger方程:

2

i Ψ(x,t)=( +V(x))Ψ(x,t),x∈R3, t2m

其中Ψ(x,t)为波函数， =

(1.1)

h

，h为Plank常数，m为粒子的质量， 为Laplace算子，2π

V(x)为位势。它是奥地利物理学家ErwinSchr¨odinger在1926年提出来的。它的提出

解决了当时量子力学的核心问题，从而使得量子力学顺利地向前发展。作为量子力学最基本的方程，在现代物理中扮演着一个重要角色，其地位相当于经典力学中的Newton方程。

虽然Schr¨odinger方程只是量子力学中的一个方程，但它却引起了数学家极大的兴趣，使得大量的数学家投入到对它及对应的Schr¨odinger算子 +V的研究中来。

odinger算子的自伴早期的研究主要采用的是泛函分析[1,2]的方法，主要是研究Schr¨

性、谱理论、散射理论等，这一时期产生了大量的成果(见B.Simon[3–6])。当调和分析[7–9]日渐成熟，其思想和方法更是渗透到数学的各个领域，利用调和分析的方法来研究Schr¨odinger方程及Schr¨odinger算子自然成了现在主要手段。对Schr¨odinger方程解的Lp Lq估计[10–14]，Strichartz估计[15–18]，光滑效应[19,20]等的研究一直都是最近几十年研究的热点。

在研究线性Schr¨odinger方程的同时，非线性Schr¨odinger方程也同样受到了人们的注意。对于经典的非线性Schr¨odinger方程

{

iut+ u=f(u),x∈Rn

(1.2)

u(x,0)=φ(x),t≥0,人们做了大量的研究，诸如其解在Hs(Rn)中的局部适定性[21–25]，全局存在性[26–30]，低正则性[31–34]等，并取得了很多非常好的结果。

当f(u)=λ|u|αu时，对于Cauchy问题(1.2)在Hs(Rn)中的局部适定性，T.Cazenave,F.Weissler[22]给出了当s≥0时s的最优条件：

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