第二章_应力分析

第二章 应力分析

研究弹性力学问题要从三方面规律（条件）：平衡、几何、物理来建立，本章就是研究第一个规律：平衡规律。

第1节 内力和外力

1.1 外力：

物体承受外因而导致变形，外因可以是热力作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作用；另一方面从量纲分类，外力主要为体积力和表面积力。我们讨论的外力是属于机械力中的体力和面力的范围。

1． 外部体力：作用在物体单位体积（质量）上的力如重力（惯性力）。 量纲：力/（长度）3。

求V中任意点P上承受体力采用极限方法：

X2

X2

XX

1

第2节 应力和应力张量

2.1 应力

当变形体受外力作用时，要发生变形，同时引起物体内部各点之间相互作用力（抵抗力）——内力，为了描述物体内任意点P的内力可采取如下方法：

过P点设一个截面S将V分为两部分：（作用力与反作用力）

F-F

2

n1 nx l、n2 ny m、n3 nz n。即

t(n) t(i)ni t(1)n1 t(2)n2 t(3)n3 t(x)l t(y)m t(z)n

ABC S,

PBC n1 S,

x2

PAC n2 S, PAB n3 S,

x1

t(n) S t( i) Si f V 0

Si ni S 代入上式，并忽略高阶微量 而 t( i) t(i),

t(n) S t(i)ni S 0

或 展开为 或

t(n) nit(i)

t(n) t(1)n1 t(2)n2 t(3)n3 t(n) t(x)l t(y)m t(z)n

2.1 应力张量

每个坐标面上的应力矢量又可以沿三个坐标面分解三个分量，比如坐标面法线为x1

t(1) t(x) 11e1 12e2 13e3 xxex xyey xzez 1jej xjej

x3

x(x)

1

3

同理，得

t(2) t(y) 21e1 22e2 23e3 yxex yyey yzez 2jej yjej t(

3) t(z) 31e1 32e2 33e3 zxex zyey zzez 3jej zjej

4

5

6

7

8

p２

p２ ２l２ l２ 　　　　（3.25）

２

p３

p３ ３l３ l３

３

将法线方向n取为单位长度，则

22l12 l2 l3 1　　　　　　　　　（3.26）

将式（3.25）代入式（3.26），得

　（

p1

２

）p２

1 ２

２

） （

p３

３

２

）＝１　　（3.2７）

3.3.2.讨论：

9

（1）：如果以p1，p2，p3为坐标轴建立直角坐标系，则在此坐标系中，上式为一

椭球面方程，主半轴分别为 1， 2， 3，称为应力椭球面。此椭球面上任一点都存在着三个坐标p1，p2，p3，分别为过o点的某一平面上应力的三个分量。

（2）：当 1= 2= 3时，式（3.27）变为：

２２２

　（p1）＋（p２） （p３）＝ 2　　（3.28）

上式为一球面方程。在主坐标系中，三个主应力均等于 的应力张量为 ，

00 11

0 0 = 11

0 11 0

1　i j

式中， = ij= ——应力球张量

0　i j （3）应力偏张量

莫尔园

10