Chapter2-1(静电场标势微分方程)

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第二章 静电场本章内容： 本章内容：电磁场的基本理论应用 到最简单的情况：电荷静止， 到最简单的情况：电荷静止，相应 的电场不随时间而变化的情况。 的电场不随时间而变化的情况。 本章研究的主要问题： 本章研究的主要问题：在给定的自 由电荷分布以及周围空间介质和导 体分布的情况下，求解静电场。 体分布的情况下，求解静电场。1

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本章具体内容： 本章具体内容：1. 2. 3. 4. 5. 6. 静电场标势微分方程 唯一性定理 分离变量法 镜像法 格林函数法 电多级矩2

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第一节 静电场的标势及其微分方程

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一、静电场的标势在静止情况下，电场与磁场无关， 在静止情况下，电场与磁场无关， 麦氏方程组的电场部分为

× E = 0D = ρ这两方程连同介 质的电磁性质方 程是解决静电问 题的基础。 题的基础。

E = 静电场的无旋性是它的一个重要特 由于无旋性， 性，由于无旋性，我们可以引入一 个标势来描述静电场， 个标势来描述静电场，和力学中用 势函数描述保守力场的方法一样。 势函数描述保守力场的方法一样。4

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把单位正电荷由P1点移 把单位正电荷由 点移 至P2点，电场E对它所作 点 电场 对它所作 的

功为

∫

P2 P1

E dl

这功定义为P1点和 点 这功定义为 点和P2点 点和 的 。若电场 对电荷做了正功， 对电荷做了正功，则电 势φ下降。由此 下降。 下降

电势差

( P2 ) ( P1 ) = ∫ E dlP1

P2

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由这定义， 由这定义，只有两点的电势差才有

物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。参考点的选择是任意的， 没有物理意义的。参考点的选择是任意的， 在电荷分布于有限区域的情况下， 在电荷分布于有限区域的情况下，常常选无 穷远点作为参考点。 穷远点作为参考点。令(∞)=0有 ∞ 有

(P) =

∫

∞

P

E dl

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无旋性的积分形式是电场 沿任一闭合回路的环量等 于零， 于零，即

∫

E dl = 0

设C1和C2为P1和P2点的两 条不同路径。 条不同路径。C1与C2合成 闭合回路， 闭合回路，因此

∫

C1

E dl

∫

C 2

E dl = 0

∫

C1

E dl = ∫ E dlC2

电荷由P 点移至P 电荷由 1点移至 2点时电场 对它所作的功与路径无关， 对它所作的功与路径无关， 只和两端点有关。 只和两端点有关。7

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相距为dl的两点的 相距为 的两点的电势差

d = E dl

由于

d = dx + dy + dz = d l x y z

因此，电场强度E等于电势 等于电势φ的负梯度 因此，电场强度 等于电势 的负梯度

E = 当已知电场强度时，可以求出电势；反过来， 当已知电场强度时，可以求出电势；反过来，已 知电势φ时 通过求梯度就可以求得电场强度。 知电势 时，通过求梯度就可以求

得电场强度。8

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× E = 0 × = 0

E = d = E dl(P) =P2

D=ε E

∫

∞

P

E dl

( P2 ) ( P1 ) = ∫ E dlP1

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点电荷Q激发的 点电荷 激发的 电场强度

E=

Q 4πε 0 r3

r

其中r为源点到场点 其中 为源点到场点 的距离。把此式沿径 的距离。 向场点到无穷远点积 分，电势为

(P) = ∫

∞

Q 4πε 0 r ′

r

dr ′ = 2

Q 4πε 0 r

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一组点电荷Q 一组点电荷 i激发的 电势

(P) = ∑i

4πε 0 ri

Qi

若电荷连续分布， 若电荷连续分布，电荷密度 为源点x'到场点 为ρ,设r为源点 到场点 的 ， 为源点 到场点x的 距离，则场点x处的电势为 距离，则场点 处的电势为

ρ ( x ′ )dV ′ ( x) = ∫ 4πε 0 r

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二、静电势的微分方程和边值关系均匀各向同 性线性介质 代入

D=ε ED = ρ

得泊松方程

ρ = ε2

其中ρ为自由电荷密度。 其中 为自由电荷密度。泊松方程是静电势满足的基本 为自由电荷密度 微分方程。给出边界条件就可以确定电势φ的解 的解。 微分方程。给出边界条件就可以确定电势 的解。

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通过转换获得两介质界 面上电势φ必须满足边值 面上电势 必须满足边值 关系

n × ( E 2 E1 ) = 0 n ( D2 D1 ) = σ

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电荷沿法线方向移动, 电荷沿法线方向移动 切 线分量不做功， 线分量不做功，沿法线 方向做功为零( 方向做功为零(因电场 有限，且间距趋于零) 有限，且间距趋于零)

1 2 = E P1 P2 = 0

1 = 2 2 1 ε2 ε1 = σ n n14

法向电场不连续

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导体的特殊性1、导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上； 、导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上； 2、导体内部电场为零； 、导体内部电场为零； 3、导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为 、导体表面上电场必沿法线方向， 等势面，整个导体的电势相等。 等势面，整个导体的电势相等。 设导体表面所带电荷面密度为σ, 设导体表面所带电荷面密度为 ，设它外面的介质电容 率为ε, 率为 ，导体表面的边界条件为

=C

ε = σ n15

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三、静电场能量1 W = ∫ E Dd V 2 ∞和 由E=-和 ρ得 D=ρE D = D = (D ) + D = (D ) + ρ

因此

1 1 W = ∫ ρdV ∫ (D )dV 2 216