必修四平面向量的线性运算成品

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平面向量的线性运算

知识点一：向量的加法

rrrra,b（1）定义已知非零向量，在平面内任取一点A，作AB＝a，＝b，则向量rr

叫做 ，记作 ，即a b＝ ．

求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法．这种求向量和的方法，称为 . 说明：①运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点 的向量即为和向量.

②两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定． ③位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型． （2）向量加法的平行四边形法则

uuurr

以点O为起点作向量OA a ，OB b，以OA,OB

为邻边作YOACB，则 就

rrrruuura,b是的和，记作a b=OC。

说明：①三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适.

②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．

rrrrrra 0 0 a a ③对于零向量与任一向量a，

（3）特殊位置关系的两向量的和

①当向量a与b不共线时，a+b的方向不同向，且|a+b|<|a|+|b|； ②当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，

③当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.

（4）向量加法的运算律

①向量加法的交换律：+=+

②向量加法的结合律：(+) +=+ (+)

知识点二：向量的减法

（1）相反向量： 。

rrrr①向量a和-a互为相反向量，即a= –(-a).

②零向量的相反向量仍是 ．

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rrrrr

③任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a＋(-a)＝(-a)＋a＝0．

rrrrrrrrra,b④如果向量互为相反向量，那么a＝-b，b＝-a，a＋b＝0． rr

（2）向量减法的定义： ，叫做 a与b的差.

rrrr

即： a b= a+ ( b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.

（4）向量减法的几何作法

uurruuurruurrrrrOA a,OB b在平面内任取一点O，作，则BA a b．即a b可以表示

为 ，这就是向量减法的几何意义．

rr

说明：①AB表示a b .强调：差向量“箭头”指向rrrr

②用“相反向量”定义法作差向量，a b= a+ ( b)， 显然，此法作图

较繁，但最后作图可统一. 知识点三：向量数乘的定义

r

（1）定义：一般地，我们规定实数 与向量a的积是一个向量，这种运算叫做 ，

r

记作 a，它的长度与方向规定如下：

rr⑴|λa|＝|λ||a|

rrrr

⑵当 0时，λa的方向与a的方向 ；当 0时，λa的方向与a的方向 ．

rr

当 0时，λa＝0

（2） 向量数乘的运算律

根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律：

设 、

rrrrrr

向量a(a 0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使b＝ a．

结论（1）两个向量的和仍然是向量，它的大小和方向可以由三角形法则和平行四边形法

则确定，这两种法则本质上是一致的．

共线向量加法的几何意义，为共线向量首尾相连接，第一个向量的起点与第二个向量的

rrrr终点连接所得到的有向线段所表示的向量．a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的

终点的向量

（3）实数与向量不能相加减，可以相乘．向量数乘的几何意义就是几个相等向量相加．

rrrrrr（4）向量a(a 0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使b＝ a。

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预习自测

1. 下列各式正确的是（ ）

rrrr

A．若a，b同向，则|+|=||+|| B．a b与||+||表示的意义是相同的

rrr

rra a bab C．若，不共线，则|+|＞||+|| D．永远成立

uuuruuuruuuruuruuur

2．AO OB OC CA BO等于（ ）

A．

r

B． 0 C．

D．

rrr

3．已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a，b，c，则向

量

等于（ ）

rrrrrrrrrrrrA．a b c B．a b c C．a b c D．a b c uuurruuurruuurr

4．在四边形ABCD中，设AB a,AD b,BC c，则

等于（ ）

rrrrrrrrrrrrb (a c) A． a b c B． C．a b c D．b a c

rr

5．设b是a的相反向量，则下列说法错误的是（ ）

rrrrrrrr

A．a与b的长度必相等 B．a∥b C．a与b一定不相等 D．a是b的相反向量 uuur

6． AC可以写成：①

的是（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

；②

；③

；④

，其中正确

7．如图所示，在

uuurruuurrrruuurAB a,DB bABCD中，已知，用a与b表示向量AD、

。

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典型例题探究

例1．下列命题，其中真命题的个数为（ ）

rrrrrr

①如果a，b的方向相同或相反，那么a b的方向必与a，b之一的方向相同。

②△ABC中，必有 ③若

r0

r

0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点。

rr

④若a，b均为非零向量，则|+|与||+||一定相等。

A．0 B．1 C．2 D．3

uuurruuurr

M，且AB＝a，AD＝b，试例2.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点uuuruuuruuuruuurrr

用a，b表示向量MA,MB,MC,MD．

rr

,b，作3任u意向ur量aruu例rr已r知uur两r个非r零uur

OA a ,bO B2 a,b O，试判断3C aA、Bb、C三点之间的位置关系．

例4.一艘船从长江南岸A点出发以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江

水的流速为向东2 km/h．

⑴试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）； ⑵求船实际航行速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到度).

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平面向量的线性运算

1.

rururrurura e1 2e2,b 3e1 4e2

，且

urure1,e2

rr

共线，则a,b（ ）

A共线 B不共线 C可能共线，也可能不共线 D不能确定

uuurruuurruuurr

2.如图所示，在矩形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点。若AB a,BC b,OB c，rrruuur试证明：a (b c)=-OD。

3.已知两个非零向量

urure1,e2

不共线，如果

uuurururuuurururuuurururAB 2e1 3e2,BC 6e1 23e2,CD 4e1 8e2

,

求证：A,B,D三点共线。

4．在△ABC中，G是△ABC的重心。试证明

：

。

5．如图所示，已知

uuurruuurr

ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点。若AB a,AD b，

、

。

rr

试以a,b为基底表示