2015年江苏省南京市溧水县中考数学一模试卷(8)

在Rt△OHF中，据勾股定理得：OF2=FH2+OH2， ∴x2=（

）2+（

）2， （舍去），

解得x1=，x2=

∴⊙O的半径为．

【点评】本题综合考查了切线的性质，相似三角形，解直角三角形等知识点的运用．是一道运用切线性质解题的典型题目，难度中等．

27．（11分）问题提出

把多边形的任一边向两方延长，如果其它各边都在延长线的同一旁，则这样的多边形为凸多边形．如平行四边形、梯形等都是凸多边形．我们教材中所说的多边形如没作特别说明，一般都是指凸多边形．

把多边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凹多边形．凹多边形会有哪些性质呢？ 初步认识

如图（1），四边形ABCD中，延长BC到M，则边AB、CD分别在直线BM的两旁，所以四边形ABCD就是一个凹四边形．请你画一个凹五边形．（不要说明） 性质探究

请你完成凹四边形一个性质的证明：

如图（2），在凹四边形ABCD中，求证：∠BCD=∠A+∠B+∠D． 类比学习

我们以前曾研究过凸四边形的中点四边形问题，如图（3），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是平行四边形．当

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四边形ABCD满足一定条件时，四边形EFGH还可能是矩形、菱形或正方形． 如图（4），在凹四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，请判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论． 拓展延伸

如图（5），在凹四边形ABCD的边上求作一点P，使得∠BPD=∠A+∠B+∠D．（不写作法、证明，保留作图痕迹）

【分析】初步认识：根据定义画出即可；

性质探究：延长BC交AD于点M，根据三角形的外角性质得出即可； 类比学习：根据三角形中位线性质和矩形、平行四边形的判定得出即可； 拓展延伸：根据圆周角定理的内容和线段垂直平分线性质画出即可．

【解答】解：初步认识：如图1，

；

性质探究：

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延长BC交AD于点M，∵∠BCD是△CDE的外角， ∴∠BCD=∠CMD+∠D， 同理，∠CED是△ABE的外角， ∴∠CMD=∠A+∠B， ∴∠BCD=∠A+∠B+∠D；

类比学习：

四边形EFGH是矩形，

证明：连接AC，BD，交EH于点M，

∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF=HG=

，EF∥HG∥AC，

∴四边形EFGH是平行四边形， ∵AB=AD，BC=DC，

∴A、C在BD的垂直平分线上， ∴AM⊥EH，

已证EF∥AC，同理可证FG∥BD， ∴∠EFG=90°，

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∴□EFGH是矩形；

拓展延伸：

如图所示，．

【点评】本题考查了三角形的中位线性质，线段垂直平分线性质，平行四边形的判定，矩形的判定，三角形的外角性质的应用，能综合运用性质进行推理和画图是解此题的关键，综合性比较强，有一定的难度．

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