九年级模拟试题(8)

3、已知二次函数y=mx2+(m-3)x-3 (m＞0) ①、求证：它的图象与x轴必有两个不同的交点。 ②、这条抛物线与x轴交于A（x1,0）和B（x2,0）（x1＜x2）,与y轴交于点C，且AB=4， ⊙M过A、B、C三点，求扇形MAC的面积S

③、在②的条件下，抛物线上是否存在点P使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BC分成面积比为1：2的两部分。若存在，请求出点P的坐标。若不存在，请说明理由。

y

A O M B C

4.如图，已知抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．

（1）求m的值及抛物线的解析式；

（2）设∠DBC = ?，∠CBE = ?，求sin（?－?）的值； （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点 的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并 直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由题意可知C（0，－3），?b?1， 2a∴ 抛物线的解析式为y = ax2－2ax－3（a＞0）， 过M作MN⊥y轴于N，连结CM，则MN = 1，CM?∴ CN = 2，于是m =－1．同理可求得B（3，0）， ∴ a×32－2－2a×3－3 = 0，得 a = 1， ∴ 抛物线的解析式为y = x2－2x－3．

（2）由（1）得 A（－1，0），E（1，－4），D（0，1）．∴ 在Rt△BCE中，BC?32，CE?∴

5，

2，

OB3OBBCOBODBC32，即 ，∴ Rt△BOD∽Rt△BCE， ??3，????3，∴

OD1ODCEBCCECE2BC2得 ∠CBE =∠OBD =?，因此 sin（?－?）= sin（∠DBC－∠OBD）= sin∠OBC =CO?2． （3）显然 Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P1（0，0）．

过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2，由Rt△CAP2 ∽Rt△BCE，得P2(0,)． 过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3（9，0）． 故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2(0,)，P3（9，0）， 使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似．

已知：如图，二次函数y=x2+(2k–1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点. (1)求这个二次函数的解析式；

(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使锐角△AOB的面积等于3.求点B的坐标； (3)对于(2)中的点B，在抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由.

1313

已知：如图，△ABC中，CA?CB，点D为AC的中点，以AD为直径的?O切BC于点E，

AD?2．

（1）求BE的长；（2）过点D作DF∥BC交?O于点F，求DF的长．

（1）连结OE交FD于点G，

?BC切?O于E，?BE?BC．

A B F O

D E

C

（第25题图）

?CE?32?12?8?22，

?BE?4?22． ················································································································ 5分

（2）?DF∥BC， ?△OGD∽△OEC，

GDOD． ??ECOC22GD1??，?GD?．

3322A B O F G E

D C

（第25题图）

?OE?BC，?OE?FG，

?FD?2GD?42． 9分 3??如图，在△OAB中，?B?90，?BOA?30，OA?4，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA?B?，C点的坐标为（0，4）． （1）求A?点的坐标；

（2）求过C，A?，A三点的抛物线y?ax?bx?c的解析式；

（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，使以O，A，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

y C B? A?

2