九年级模拟试题(7)

．如图，已知与x轴交于点A(1，0)和B(5，0)的抛物线l1的顶点为C(3，4)，抛物线l2 与l1关于

x轴对称，顶点为C?．

（1）求抛物线l2的函数关系式；

（2）已知原点O，定点D(0，4)，l2上的点P与l1上的点P?始终关于x轴对称，则当点P运

动到何处时，以点D，O，P，P?为顶点的四边形是平行四边形？

（3）设l2上的点M、N（M在N的左侧）分加与l1上的点M?、N?始终关于x轴对称，是否

存在点M、N（M在N的左边），使四边形MNN?M?为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）由题意知点C?的坐标为(3，?4)．

设l2的函数关系式为y?a(x?3)?4． ??????????????1分 又?点A(1，0)在抛物线y?a(x?3)?4上，

22?(1?3)2a?4?0，解得a?1．

?抛物线l2的函数关系式为y?(x?3)2?4

（或y?x?6x?5）． ??????2分 （2）?P与P?始终关于x轴对称，

2?PP?与y轴平行．

设点P横坐标为m，则其纵坐标为m?6m?5，

2?OD?4，?2|m2?6m?5|?4，即m2?6m?5??2．

2当m?6m?5?2时，解得m?3?6．

当m?6m?5??2时，解得m?3?2．

22)或(3?6，2)或(3?2，?2)或(3?2，?2)时，?当点P运动到(3?6，∥ODP?P ，以点D，O，P，P?为顶点的四边形是平行四边形．??? 6分

（3）存在满足条件的点M、N．由抛物线的对称性可知，点M、N关于直线x?3对称. 设M(x0,y0)，则正方形MNN?M?的边长为2y0. ?x0?3?y0.

?点M在l2上，?y0?(3?y0?3)?4

2x?3 解得y0?1?17. 25?177?17或. 22 ?x0?3?y0? ∴点M的坐标为(5?171?177?171?17,)或 (,). 22222在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点(2，3)和(?3，?12)． （1）求此二次函数的表达式；

（2）若直线l:y?kx(k?0)与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及

点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角?PCO与?ACO的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标xp的取值范围． 解：（1）?二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点(2，3)和(?3，?12)， x ?b??2a?1，?a??1，???由?4a?2b?c?3， 解得?b?2，

?c?3.?9a?3b?2??12.???1 O 1 y ?此二次函数的表达式为 y??x2?2x?3．

（2）假设存在直线l:y?kx(k?0)与线段BC交于点D

（不与点B，C重合），使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似． ，x2?3 在y??x?2x?3中，令y?0，则由?x?2x?3?0，解得x1??122?A(?1，，0)B(3，0)． 令x?0，得y?3．?C(0，3)．

设过点O的直线l交BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E．

x l C D 0)，点C的坐标为(0，3)，点A的坐标为(?1，0)． ?点B的坐标为(3，??AB?4，OB?OC?3，?OBC?45.

?BC?32?32?32．

要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC， 已有?B??B，则只需

BDBC?BOBA，①

或

BOBC?BDBA.②成立．

若是①，则有BD?BO?BCBA?3?3292???BE?DE． ．而?OBC?45，442?92?2222． ?在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE?DE?2BE?BD???4????993解得 ．?OE?OB?BE?3??． BE?DE?（负值舍去）

444?39??点D的坐标为?，?．将点D的坐标代入y?kx(k?0)中，求得k?3．

?44??满足条件的直线l的函数表达式为y?3x．

［或求出直线AC的函数表达式为y?3x?3，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为

y?3x．此时易知△BOD∽△BAC，再求出直线BC的函数表达式为y??x?3．联立?39?］ y?3x，y??x?3求得点D的坐标为?，?．

?44?若是②，则有BD?BO?BABC?3?4?BE?DE． ?22．而?OBC?45?，322222?在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE?DE?2BE?BD?(22)2．

解得

BE?DE?2（负值舍去）．?OE?OB?BE?3?2?1．

2)． ?点D的坐标为(1，将点D的坐标代入y?kx(k?0)中，求得k?2．

∴满足条件的直线l的函数表达式为y?2x．

，使得以B，O，D为?存在直线l:y?3x或y?2x与线段BC交于点D（不与点B，C重合）顶点的三角形与△BAC相似，且点D的坐标分别为?，?或(1，2)．

（3）设过点C(0，，3)E(1，0)的直线y?kx?3(k?0)与该二次函数的图象交于点P． 将点E(1，0)的坐标代入y?kx?3中，求得k??3．?此直线的函数表达式为y??3x?3．

22x 设点P的坐标为(x，并代入y??x?2x?3，得x?5x?0．解得x1?5，x2?0（不?3x?3)，

?39??44?合题意，舍去）．?x?5，y??12．

?12)． ?点P的坐标为(5，此时，锐角?PCO??ACO． 又?二次函数的对称轴为x?1，

C · C? A O E B 3)． ?点C关于对称轴对称的点C?的坐标为(2，?当xp?5时，锐角?PCO??ACO；

x?1 当xp?5时，锐角?PCO??ACO； 当2?xp?5时，锐角?PCO??ACO．

P 1、已知：如图（13），抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点C在以D（－2，－2）为圆心，4为半

径的圆上，且经过⊙D与x轴的两个交点A、B，连结AC、BC、OC. （1）求点C的坐标；

（2）求图中阴影部分的面积；

（3）在抛物线上是否存在点P，使DP所在直线平分线段OC？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说出理由. 解：（1）如图，作CH⊥x轴，垂足为H.

∵直线CH为抛物线对称轴， ∴H为AB的中点. ∴CH必过圆心D（－2，－2）.

∵DC＝4，∴CH＝6. ∴C点的坐标为（－2，－6） （2）连接AD.在Rt△ADH中，AD＝4，DH＝2.

∴∠HAD＝30°，AH＝AD2?DH2＝23∴∠ADC＝120°. ∴S扇形DAC＝

120????421611＝π，∴S△DAC＝AH·CD×23×4＝43，

360?32216π－43. 3（3）又∵AH＝23，H点坐标为（－2，0），H为AB的中点， 则阴影部分的面积S＝S扇形DAC－S△DAC＝

∴A点坐标为（－2－23，0），B点坐标为（23－2，0）

又∵抛物线顶点C的坐标为（－2，－6），设抛物线解析式为y＝a（x＋2）2－6. ∵B（23－2，0）在抛物线上，∴a（23－2＋2）2－6＝0. 解得 a＝∴抛物线的解析式为y＝

1. 21（x＋2）2－6 2设OC的中点为E，过E作EF⊥x轴，垂足为F，连接DE.∵CH⊥x轴，EF⊥x轴，∴CH∥EF.

11∵E为OC的中点，∴EF＝CH＝3，OF＝OH＝1. 即点E的坐标为（－1，－3）.

22设直线DE的解析式为y＝kx＋b（k≠0）， ∴｛－2＝－2k＋b 解得k＝－1，b＝－4. ｛－3＝－k＋b，

∴直线DE的解析式为y＝－x－4

若存在P点满足已知条件，则P点必在直线DE和抛物线上. 设点P的坐标（m，n），∴n＝－m－4，即点P坐标为（m，－m－4）.

1∴－m－4＝（m＋2）2－6，即m1＝0，m2＝－6.∴点P的坐标为（0，－4）和（－6，2）.

2故在抛物线上存在点P，使DP所在直线平分线段OC

2、如图，在直角坐标系中，以点P（1，－1）为圆心、2为半径作圆，交x轴于A、B两点，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过A、B两点，且顶点C在圆P上。 ①求圆P上劣弧AB的长。 ②求抛物线的解析式

③问：抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由。 y B A O x ·P