2009年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷1)试题及点评(8)

一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而

B?A3?A4?B3?A4?A5?A3?B4?A5 ，由于各局的比赛结果相互独立，故

P(B)?P(A3?A4)?P(B3?A4?A5)?P(A3?B4?A5)?81． 125解法二：记A表示事件：甲获得这次比赛的胜利．令甲每局比赛获胜的概率为P，

1222由题知P?0.6．P(A)?C2P(1?P)?C2P?0.648．

【解读与点评】 本小题本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，等，以及运用所学知识与方法解决实际问题的能力.

概率应用问题的求解要点是在准确理解题意的基础上，抽象出正确的概率模型.其中等可能性事件的概率是概率内容的基础，对立事件、相互独立事件的概率都要转化为多个等可能性事件的概率，所以求解这类概率题的关键是认准概率模型. (21) 解：(Ⅰ)f(x)?4x?6x?4x(x?/3666当x?(??,?)(x?)．)和

222x?(0,666)时，f/(x)?0；当x?(?,0)和x?(,??)时，22266)和(0,)是减函数；f(x)在区22f/(x)?0．因此，f(x)在区间(??,?66,0)和(,??)是增函数． 22间(?(Ⅱ) 设点P的坐标为(x0,f(x0))，由l过原点知，l的方程为y?f/(x0)x．因

423此f(x0)?x0f/(x0)，即x0?3x0?6?x0(4x0?6x0)?0，整理得22(x0?1)(x0?2)?0，解得x0??2或x0?2．因此切线l的方程为

y??22x或y?22x．

【解读与点评】 本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等综合知识，以及综合分析、推理论证的能力.

函数与不等式的综合并不是一件新鲜事，但通过导数进行的这种交叉与融合并不多见，这也是一种新的函数类题的命题趋势.特别是用导数考察函数的单调性，以及用导数求函数的最值的题目在近几年的高考试题中频频出现，这类题与不等式的证明、

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解不等式、不等式恒成立问题进行综合也司空见惯，考查的是综合和灵活应用知识解题的能力.对付这些类型的题目，必须对相关方法和技能了如指掌，而且还要适时进行必要的转化与化归.

(22) (Ⅰ) 解法一：将y2?x代入(x?4)2?y2?r2，并化简得

x2?7x?16?r2?0 (1)

E与M有四个交点的充要条件是方程(1)有两个不等的正根x1,x2．由此得

???(?7)2?4(16?r2)?015?2x1?x2?7?0解得：?r?16．又r?0，所以r的取值范围?42?xx?16?r?012?是(15,4)． 2 解法二：将y2?x代入(x?4)2?y2?r2，并化简得y4?7y2?16?r2?0 ①

2E与M有四个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根y12,y2．由此得

???(?7)2?4(16?r2)?015?22?r2?16．又r?0，所以r的取值范围y?y?7?0解得：?124222?y1y2?16?r?0?是(15,4)． 22 解法三：抛物线y?x上的点(x0,y0)到圆心(4,0)的距离为

7151522，又由于原点d?(x0?4)2?y0?x0?7x0?16?(x0?)2??242O在圆内或圆上时，圆与抛物线最多有三个交点，所以r?4．故使得E与M有四

个不同焦点时

15?r?4． 2(Ⅱ) 解法一：不妨设E与M的四个交点的坐标分别为：

A(x1,x1),B(x1,?x1),C(x2,?x2),D(x2,x2)，则直线AC,BD 37

的方程分别为：y?x1??x2?x1x2?x1(x?x1),y?x1?x2?x1x2?x1(x?x1)．解

得点P(x1x2,0)．设t?x1x2，由t?16?r2及(1)知0?t?7．因ABCD22x1?2x2）?|x2?x1|．则为等腰梯形，面积为S?（12S2?(x1?x2?2x1x2)?[(x1?x2)2?4x1x2]．将x1?x2?7,x1x2?t代入上

式，并令f(t)?S2得：f(t)?(7?2t)2(7?2t)??8t3?28t2?98t?343，

7)，求导数得f/(t)??2(2t?7)(6t?7)??24t2?56t?98．令27777/解得t?,t?? (舍去)．当0?t?时，f(t)?0；当t?时，f/(t)?0，

6266777f/(t)?0；当?t?时，f/(t)?0．故当且仅当t?时，f(t)有最大值，

6267即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为(,0)．

6(0?t?解法二：不妨设E与M的四个交点的坐标分别为：

A(x1,x1),B(x1,?x1),C(x2,?x2),D(x2,x2)，则直线AC,BD的方程分别为：

y?x1??x2?x1x2?x1(x?x1),y?x1?x2?x1x2?x1解得点P的坐(x?x1)．

标为(x1x2,0)．设t?x1x2，由t?16?r2及(1)知0?t?127．由于ABCD22x1?2x2）?|x2?x1|．则为等腰梯形，面积为：S?（S2?(x1?x2?2x1x2)?[(x1?x2)2?4x1x2]．将x1?x2?7,x1x2?t，

代

入

，

令

f(t)?S2得：

1128329(7?2t)(7?2t)(14?4t)?()3?，当且22327777仅当7?2t?14?4t时，即t?时，等号成立．又?(0,)，所以四边形的面

6267积最大时，所求的点P的坐标为(,0)．

6f(t)?(7?2t)2(7?2t)?【解读与点评】 本小题主要考查本小题主要考查圆和双曲线的定义和性质、圆与双曲线的位置关系、一元二次方程根的情况、根与系数的关系、直线的交点坐标的

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求法、以及利用导数求函数最值等综合知识，以及解析几何的基本思想、方法和综合解决数学问题的能力.

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试卷综合解读与评析

试题贯彻了《考试大纲》确定的高考命题的指导思想和原则，试题在平和的氛围中透出清新，在稳定的前提下追求创新，达到了考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标；符合高中数学的教学水平，切合学生的实际情况，使不同水平层次的学生都能充分发挥，达到了使考生满意，家长高兴，老师放心的效果，试题的区分度、信度、效度都很高.

与去年相比，今年数学试题难度保持基本稳定.首先，12个选择题都很平易近人，易于下手，运算量很小，而且有合适的梯度；其次，4个填空题非常平和，几乎没有难题，更不需要太繁的计算，考生感觉比选择题还顺手，不会在这些题上浪费时间；最后的6个解答题由易到难，入手容易，深入也不困难，尤其是最后两个“把关”题，基本上是送给学生的大礼，这两题的涉及的知识内容既基础又常规，背景单纯，形式熟悉，设问不陌生，考生读完题后解法也就浮现在眼前了，考生的感觉只有一个字：爽.这样的试题对大多数考生有利，也能较真实的考查出考生的水平，有利于高校选拔人才，有利于中学数学教学，受到广大中学师生的好评.

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