2009年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷1)试题及点评(2)

22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

设函数f(x)?x3?3bx2?3cx有两个极值点x1,x2且x1???1,0?，

x2??1,2?．

（Ⅰ）求b,c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点?b,c?的区域；

(Ⅱ)证明：?10?f?x2???1． 2

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2009年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）

理科数学（必修＋选修Ⅱ）试题答案及解读

一、选择题

（1）A．解：A?B?{3,4,5,7,8,9}，A?B?{4,7,9}?e,5,8}．也U(A?B)?{3可用摩根律：痧U(A?B)?(UA)?( UB)

【解读与点评】考查集合、并集的概念，以及集合的交、并运算知识.

涉及集合内容的高考题的难度都不大，求解此类题关键是要清晰集合的概念，以及集合的交、并、补运算的概念.有时这类题还与不等式等内容进行综合，此时应把注意力集中在对约束条件进行化简，也就是解一元二次或绝对值等不等式，在此基础上再进行集合的交、并、补运算.

(2) B．解：z?(1?i)(2?i)?1?3i，所以z?1?3i． 【解读与点评】本题考察复数的四则运算，以及运算能力.

复数是文理区分的一把标尺，在理科高考题中出现的概率较大.主要涉及两类题型：一是复数的概念；二是复数的四则运算，这两类题都没有多少技术含量，属于命题者赠与考生的见面礼. (3) D． 解：验x??1即可．

【解读与点评】本题考察绝对值不等式及分式不等式的解法．另外也可采用特值法． (4) C．解：设切点P(x0,y0)，则切线的斜率为y|x?x0?2x0.由题意有

/y0?2x0x022又y0?x0?1,解得:x0?1, 所以

bb?2,e?1?()2?5. aa【解读与点评】本题考察双曲线的渐近线与抛物线的基本概念与几何性质，曲线的切线，以及运用导数解决曲线切线问题的能力.

(5) D．解：两类①组中选出一名女生有C5?C3?C6?225种选法; ②乙组中选出一名女生有C5?C6?C2?120种选法.故共有345种选法.

【解读与点评】本题考查排列组合的知识，关键在于灵活利用两个计数原理，并准确利用排列数和组合数公式

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排列、组合、概率是高中数学教材中专门讲应用问题的章节，地位非常独特.概率问题实际上是几个排列、组合的问题的综合题，因此掌握好各种条件限制下的排列、组合问题的求解，应该是掌握好概率问题的前提.而理清一个实际应用问题中的限制条件，再用加法与乘法原理肢解之成为基本排列、组合问题，是求解排列、组合综合问题的基本着眼点.

(6) D．解:因为a,b,c是单位向量，所以(a?c)?(b?c)?a?b?(a?b)?c?c2

?1?|a?b|cos?a?b,c??1?2cos?a?b,c?1?2．

【解读与点评】本题是一道运算量很小，思维量很大的好题，它非常精细地体现了“考试要求”，尤其是求解过程中折射出的考试要求中所列“(用向量的模)计算长度” “(用向量数量积)处理垂直”等，可以以点带面呈放射状扩散的思路和方法.

“考试要求”中对向量的运算的要求级别都是“理解和掌握”层次，只有对向量的四种运算了如指掌，才能充分发挥向量的工具作用.

(7) D．解：如图，设BC的中点为D，连结A1D,AD，易知???A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角,由三角余弦定理，易知

A1C1B1cos??cos?A1AD?cos?DAB?ADAD3??． A1AAB4ACDB【解读与点评】考查二面角、异面直线所成角的概念等基础知识，以及考虑些类问题的基本方法.

公垂线没有给出的异面直线之间的距离是考试大纲不要求的，这样异面直线所成的角就凸显出来，其中异面直线的概念应该是处理这类问题的基本出发点. (8) C．解:因为函数y?3cos(2x??)的图像关于点?所以2??4π?,0?中心3??对称，

4π4????kπ,因此??k??2?(k?Z)，从而33|?|min??3．

【解读与点评】三角函数图象的对称性知识，以及思维能力.

（9）B．解:设切点p(x0,y0)，则y0?x0?1,y0?ln(x0?a,)又因为

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y/|x?x0?1?1，从而x0?a?1.所以y0?0,x0??1.故a?2．

x0?a【解读与点评】本题考查运用导数知识解决直线与曲线相切的能力．

（10）C. 解：如图分别作QA??于A．AC??于C，PB??于B，PD?l 于D，连CQ,BD则?ACQ??PBD?60?，AQ?23，BP?3，所以

AC?PD?2．又因为PQ?AQ2?AP2?12?AP2?23．当且仅当

AP?0，即点A与点P重合时取最小值．

【解读与点评】 本题考查二面角、两点之间的距离，点到直线的距离等知识． (11) D. 解：因为

f?x?1? 与f?x?1?都是奇函数，故

f??x?1???f?x?1?,f??x?1???f?x?1?因此函数f?x?关于点?1,0?及

点??1,0?对称，函数f(x)是周期T?2??1???1????4的周期函数．所以 f??x?1?4???f?x?1?4?，f??x?3???f?x?3?，即f?x?3?是奇函数．【解读与点评】本题考查函数的奇偶性及周期函数的概念，以及思维能力.

奇偶函数的概念是处理函数奇偶问题的本质方法；周期函数的概念是处理周期函数的根本方法．

(12) A．解:过点B作BM?l于M,并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN?1.由题意FA?3FB,故|BM|?以|AF|?2222.又由椭圆的第二定义,得|BF|?．所??32332．

【解读与点评】本题考察椭圆的基本概念与几何性质，以及运算能力.

客观题中的解析几何题主要考查直线、圆与圆锥曲线的基础知识、基本方法和基本技能，求解此类题的关键是准确掌握与深刻领会各自的概念与几何性质，以及相互之间的位置关系. 二、填空题

(13) 解： ?C10?(?C10)??2C10??240．

【解读与点评】本题考察二项式定理，用二项展开式的通项求展开式的特定项，以及

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考查运算能力.

考查二项展开式中的常数项的概率是比较大的，它们的思路、解法与专辑中的题的解法相比，是小巫见大巫.

(14) 解：因为?an?是等差数列，由S9?72，得S9?9a5,a5?8．所以

a2?a4?a9??a2?a9??a4??a5?a6??a4?3a5?24．

【解读与点评】本题考查等差数列的性质，等差数列的通项公式、前n项和公式等基础知识，以及运算能力.

掌握等差数列内容的标志是在深刻理解等差数列概念基础之上，准确用等差数列的通项公式、前n项和公式进行运算；灵活应用等差数列知识解决问题的前提是深谙等差数列的性质.常用的等差数列的性质有：⑴数列?an?是等差数列

?2an?1?an?an?2(或?an?a?n?b(a、b是常数)；或?Sn?a?n2?bn(a、b

是常数))；⑵若等式左右两端具有相同数目的项，则足码的和相等的项的和也相等，特别地，2an?an?k?an?k?n?k?；⑶依次k项的和组成的数列仍为等差数列，公

差是k2d，更一般地，间隔相等的连续等长片段的和仍成等差数列；⑷设项数

n?2k?1?k?N??是奇数，则ak是中间项，且Sn?n?ak，S奇?S偶?ak，

S奇?k；设项数n?2k??kN??是偶数，则Sn?k?ak?ak?1?，S偶k?1S偶?S奇?k?d，

S奇a?k；⑸数列?an?，?bn?都是等差数列，则?p?an?q?bn? S偶ak?1(p、q是任意实数)也是等差数列.

(15) 解：在?ABC中AB?AC?2,?BAC?120? ,可得BC?23,由正弦定理,

//可得?ABC外接圆半径r?2,设此圆圆心为O，球心为O，在Rt?OBO中，易得

球半径R?5，故此球的表面积为4?R?20?．

【解读与点评】本题考察球的基础知识，表面积的计算，以及运算能力和空间想像能力.

教材中关于球的理论的主要内容是球的概念、性质，球的表面积与体积，主要题

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