2009年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷1)试题及点评(4)

解法三：?的可能取值为2，3．P(??2)?0.6?0.6?0.4?0.4?0.52．

P(??3)?0.6?0.4?0.6?0.6?0.4?0.4?0.4?0.6?0.4?0.4?0.6?0.6?0.48．

?的分布列为

? P 所以E??2.48．

【解读与点评】 本小题本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，随机事件的分布列，数学期望等，以及运用所学知识与方法解决实际问题的能力.

概率应用问题的求解要点是在准确理解题意的基础上，抽象出正确的概率模型.其中等可能性事件的概率是概率内容的基础，对立事件、相互独立事件的概率都要转化为多个等可能性事件的概率，所以求解这类概率题的关键是认准概率模型. 20．(Ⅰ) 解法一：由已知得b1?a1?1，且

2 0.52 3 0.48 an?1an1??n，即n?1n211111b?b??????2?(n?2)．．从而又b1?1，n12222n2n?12n?11故所求的通项公式为bn?2?n?1．

2bn?1?bn?解法二：b1?a1?1，

an?nn1111an?1?n?1?n(1??2???n?1)?n(2?n?1)． n?122222所以bn?an1?2?n?1． n21111b??b??b??2，，因为n?1n1nnn?102222 解法三：b1?1,bn?1?bn?所以bn?2?12n?1．

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知an?n(2?12n?1)?2n?n2n?1，令Tn??2k?1nkk?1，则

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2Tn??k?1nnk2k?1，于是Tn?2Tn?Tn??2k?0n?11k?1?n2n?1?4?n?2，又n?12??2k??n?n?1?，所以Sn?n?n?1??k?1n?2?4． 2n?1【解读与点评】 本小题主要考查求数列的通项公式，求数列的前n项和．要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径的能力.

根据已知数列的递推公式求另一个由已知数列演变出的数列的通项公式是一个常考点．解决这类问题的关键在于如何从已知数列的递推公式中抽象出要求数列的递推公式．再有这个递推公式求得被求数列的通项公式，其中需要综合利用累加、迭代等求数列通向公式的方法以及等差等比数列的通项公式．

21．(Ⅰ) 解法一：将y?x代入(x?4)?y?r2222，并化简得

x2?7x?16?r2?0 (1)

E与M有四个交点的充要条件是方程(1)有两个不等的正根x1,x2．由此得

???(?7)2?4(16?r2)?015??r2?16．又r?0，所以r的取值范x?x?7?0解得：?124?2?x1x2?16?r?0围是??15?,4?． ?2?2222422 解法二：将y?x代入(x?4)?y?r，并化简得y?7y?16?r?0 ①

2E与M有四个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根y12,y2．由此得

???(?7)2?4(16?r2)?015?22y12?y2?7?0解得：?r?16．又r?0，所以r的取值范围?4222?yy?16?r?012?是??15?,4?． ?2?2 解法三：抛物线y?x上的点?x0,y0?到圆心?4,0?的距离为

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7?1515?d?(x0?4)?y?x?7x0?16??x0????，又由于原点O2?42?220202在圆内或圆上时，圆与抛物线最多有三个交点，所以r?4．故使得E与M有四个不同焦点时

15?r?4． 2(Ⅱ) 解法一：不妨设E与M的四个交点的坐标分别为：

A(x1,x1),B(x1,?x1),C(x2,?x2),D(x2,x1?x2)，则直线AC,BDx2?x1解?x?x1?．

x2?x17．由2的方程分别为：y?得点P的坐标为

?x2?x1?x?x1?,y?x1?x2?x1?x1x2,0．设t?x1x2，由t?16?r2及(1)知0?t?12?2x1?2x2）?|x2?x1|．则于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积为：S?（2S2?x1?x2?2x1x2???x1?x2??4x1x2?．将x1?x2?7,????x1x2?t代入上

式，并令f(t)?S2得：f(t)?(7?2t)2(7?2t)??8t3?28t2?98t?343，

7)，求导数得f/(t)??2(2t?7)(6t?7)??24t2?56t?98．令27777/解得t?,t?? (舍去)．当0?t?时，f(t)?0；当t?时，f/(t)?0，

6266777f/(t)?0；当?t?时，f/(t)?0．故当且仅当t?时，f(t)有最大值，

6267即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为(,0)．

6(0?t?解法二：不妨设E与M的四个交点的坐标分别为：

A(x1,的

x1),B(x1,?x1),C(x2,?x2),D(x2,方

程

分

别

x2)，则直线AC,BD为

：

y?x1??x2?x1x2?x1(x?x1),y?x1?x2?x1x2?x1解得点P的坐(x?x1)．

标为(x1x2,0)．设t?x1x2，由t?16?r2及(1)知0?t?7．由于四边形21ABCD为等腰梯形，因而其面积为：S?（2x1?2x2）?|x2?x1|．则

2将x1?x2?7,S2?(x1?x2?2x1x2)?[(x1?x2)2?4x1x2]．

x1x2?t代入

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上式，并令

f(t)?S2得：

1128329(7?2t)(7?2t)(14?4t)?()3?，，当22327777且仅当7?2t?14?4t时，即t?时，等号成立．又?(0,)，所以四边形的

626f(t)?(7?2t)2(7?2t)?面积最大时，所求的点P的坐标为?,0?．

【解读与点评】本小题主要考查圆和双曲线的定义和性质、圆与双曲线的位置关系、一元二次方程根的情况、根与系数的关系、直线的交点坐标的求法、以及利用导数求函数最值等综合知识，以及解析几何的基本思想、方法和综合解决数学问题的能力.

22．(Ⅰ) f/(x)?3x2?6bx?3c，依题意知，

方程f(x)?0有两个根x1,x2，且x1???1,0?,x2??1,2?等价于

/?7?6??f/(?1)?0,f/(0)?0,f/(1)?0,f/(2)?0，

?c?2b?1?c?0?由此得b,c满足的约束条件为?，

?c??2b?1??c??4b?4满足这些条件的点(b,c)的区域为图中的阴影部分．

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－１ ３ ｃ ２ １ １ －１ ２ ３ ｂ /2(Ⅱ) 由题设知f(x2)?3x2?6bx2?3c?0，故bx2??121x2?c．于是 22133c32f(x2)?x2?3bx2?3cx2??x2?x2．由于x2?[1,2]，而由(Ⅰ)知

2213c?0，故?4?3c?f(x2)???c，又由(Ⅰ)知?2?c?0，所以

221?10?f(x2)??．

2【解读与点评】 本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等综合知识，以及综合分析、推理论证的能力.

函数与不等式的综合并不是一件新鲜事，但通过导数进行的这种交叉与融合并不多见，这也是一种新的函数类题的命题趋势.特别是用导数考察函数的单调性，以及用导数求函数的最值的题目在近几年的高考试题中频频出现，这类题与不等式的证明、解不等式、不等式恒成立问题进行综合也司空见惯，考查的是综合和灵活应用知识解题的能力.对付这些类型的题目，必须对相关方法和技能了如指掌，而且还要适时进行必要的转化与化归.

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