2009年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷1)试题及点评(5)

来源：网络收集时间：2026-04-08

导读：试卷综合解读与评析 2009年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）(理科数学)符合高中数学的教学水平，贯彻了高考命题的指导思想和原则，试卷平和清新，达到考基� ⒖寄芰Α⒖妓刂省⒖记蹦艿目际阅勘辏蕴庥梢椎

试卷综合解读与评析

2009年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）(理科数学)符合高中数学的教学水平，贯彻了高考命题的指导思想和原则，试卷平和清新，达到考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标，试题由易到难，形成自然梯度，入手容易，层层推进，使不同程度的考生都能发挥出最佳水平.纵观整份试题，下列几点给我们留下了深刻的印象：

1 立足基础知识、基本方法和基本技能，深入挖掘教材的考评价值

这份试题有多题源于课本，比如第⑴、⑵、⑶、⑽、⑾、⒁、⒆题等都是课本例题或习题的类比、改造、延伸和拓展.课本中的这些重要的例题和习题，或者提供某个重要的结论，或者体现某种数学思想，或者是更高层次数学命题的具体形式，对这些题目的改编与加工为命制高质量的数学试题提供了一个很广阔的舞台.

2 注重理论数学，检测考生后继学习的潜能

本份试题注重考查考生的思维层级，注重检测考生进入高校继续学习的潜能.特别是第(22)题，该题综合运用导数求函数的极值、线性规划、不等式的证明、不等式恒成立、导数的灵活应用.在推理过程运用的分析与综合、转化与化归等数学思想、数学方法，是对考生综合数学素养的全方位检测，实现了考查高中与大学衔接所需知识的目的，为高校选拔人才提供最价值的依据.

3 不刻意追求知识的覆盖面，凸显能力立意

今年的《考试大纲》指出“对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体.”《考试大纲》是这样说的，试题也是如此命的！在代数的传统重点内容中着重考查函数、三角、不等式、数列等主要内容；在立体几何中主要考查线线、线面、面面位置关系以及体积；在解析几何中着重考查圆锥曲线的定义、基本量的运算，以及直线与圆锥曲线的位置关系；在新教材新增加的内容中主要考查了向量、导数的工具作用，以及概率与统计的应用.虽然重点内容绝大部分都有所涉及，但知识点的覆盖没有面面俱到.全卷命题以能力立意，着重考查思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力和创新能力.比如第⒂题，首先考查考生的阅读理解能力，然后考查等价转化能力.如果直接计算每一线段长就十分繁难，而转化为椭圆的定义及等

差数列求和，不用动笔就可以计算出答案.试题中有许多原创和新改编的题，是所谓“秘卷”“宝典”中没有的，体现了高考的公平.如第⒃题，是以高等数学群论为背景而编拟的一道判断填空题，它考查考生对新情景下对新知识的接受理解能力，抽象概括能力.

总之，这套数学试题在今年三十多套试题中属质量上乘的一份，全卷与全国高考数学试题的题型、题量、难度、分值分配类似，无偏题怪题，不少题立意鲜明，背景新颖，设问灵活，层次清晰，体现了数学重视量化、重视思维的特点，对防止题海战术、抑制烂编资料起到了良好的作用，引导中学数学教育立足课本减轻学生负担，促进教学改革，发挥了正确导向功能.

2009年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）

文科数学（必修＋选修Ⅰ）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

第Ⅰ卷

参考公式：

如果事件A，B互斥，那么

球的表面积公式

P(A?B)?P(A)?P(B)

S?4πR2

如果事件A，B相互独立，那么

其中R表示球的半径球的体积公式

P(A?B)?P(A)?P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V?43πR 3n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

其中R表示球的半径

kkn?kP(k?01，,2，?，n) n(k)?CnP(1?P)一、选择题．

（1）sin 585的值为（）

?(A) ?2 (B) 2233 (C) ? (D) 222(2) 设集合A??4,5,7,9?，B??3,4,7,8,9?，全集U?A?B，则集合

eU(A?B)中的元素共有（）

（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个 (3) 不等式

x?1?1的解集为（） x?1（A） {x|0?x?1}?{x|x?1} (B) {x|0?x?1} （C）{x|?1?x?0} (D){x|x?0} (4) 已知tan ??4,cot ??1, 则tan(???)? ( ) 3 23

(A)

7777 (B)? (C) (D) ? 11131113x2y2(5) 设双曲线2?2?1ab(a?0,b?0)的渐近线与抛物线y?x2?1相切，则

该双曲线的离心率等于( )

（A）3 （B）2 （C）5 （D）6

(6) 已知函数f(x)的反函数为g(x)?1?2lgx(x?0)，则f(1)?g(1)? ( )

（A）0 （B）1 （C）2 （D）4

(7) 甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有

（A）150种（B）180种（C）300种（D）345种 (8) 设非零向量a,b,c满足|a|?|b|?|c|,a?b?c，则

C1A1B1a,b? ( )

（A）150 （B）120 （C）60 （D）30

(9) 已知三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，

????CDABA1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为

（）（A）

3357 （B）（C） (D)

4444(10) 如果函数y?3cos(2x??)的图像关于点(为 (A)

4?,0)中心对称，那么?的最小值3???? (B) (C) (D) 6432??内，(11) 已知二面角??l??为60 ，动点P、Q分别在面?、P到?的距离为3，

Q到?的距离为23，则P、Q两点之间距离的最小值为（）

(A)

2 (B) 2 (C) 23 (D) 4

x2?y2?1的右焦点为F,右准线为l， (12) 已知椭圆C:点A?l，线段AF交C2于点B，若FA?3FB,则|AF|?

(A) 2 (B) 2 (C)3 (D) 3

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． (13) (x?y)10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于． (14) 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9?72,则a2?a4?a9? ． (15) 已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆

M，若圆M的面积为3?，则球O的表面积等于__________________.

(16) 若直线m被两平行线l1:x?y?1?0与l2:x?y?3?0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是

①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分10分）

设等差数列{an}的前n项和为sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1?1,b1?3,a3?b3?17,T},{bn}的通项公式． 3?S3?12,求{an(18) (本小题满分12分)

在?ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a?c?2b，且sin Acos C?3cos Asin C，求b．

22?????

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