2009年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷1)试题及点评(3)

型是球面距离的计算，特别是地球表面上的有关计算. (16) 解：令tan x?t,因为

???x?所以t?1, 因此 y?tan 2xtan3x? 422tan4x2t4222 ??????8． 1?tan2x1?t21?1?11?21?1???2t4t2?42?4?t【解读与点评】本题考查函数的最值问题，解决这些问题往往需要综合利用三角函数的性质，换元法，以及求二次函数最值方法． 三、解答题

17．解法一：在?ABC中，由于sin Acos C?3cos Asin C，则由正弦定理及余

a2?b2?c2b2?c2?a2?3?c，化简并整理得：2?a2?c2??b2.弦定理有:a?2ab2bc222又由已知a?c?2b，所以4b?b.解得b?4或b?0(舍).

解法二:由余弦定理得: a?c?b?2bccos A.又a2?c2?2b,b?0.所以

222b?2ccos A?2?①，

，所

又以

Ｂ

sin Acos C?3cos Asin CsAin?C coA?s Cc， A即

Ｃ

CＤ

Ａ

sin?A?C??4cos Asin Csin B?4cos Asin C由正弦定理得

bsin B?sin C，故b?4ccos A?②，由①，②解得b?4．

c解法三：由sin Acos C?3cos Asin C得tan A?3tan C．由于

tan A?BDBD,tan C，从而CD?3DA，所以b?4DA?①，由勾股定理得：DACDa2?CD2?BD2,c2?DA2?BD2，从而a2?c2?CD2?DA2，即

a2?c2?8DA2．又a2?c2?2b，所以2b?8DA2?②，由①，②得b?4．

【解读与点评】 本题考察三角形中的三角函数的应用．从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练．

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此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)a?c?2b左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)

22sinAcosC?3cosAsinC,过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用

现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.

18．(Ⅰ) 解法一：作ME//CD交SD于点E，则

S E H D A

F

B

C

M

ME//AB，所以ME?面SAD．连结AE，则四

边形ABME为直角梯形．作MF?AB， 垂足为F，则AFME为矩形．设ME?x，则

SE?x,

S MF?AE?ED2?AD2?(2?x)2?2,FB?2?x，

由

MF?FB?tan60?，得

M D N (2?x)2?2?3(2?x)．解得x?1．即ME?1，

从而ME?1DC，所以M为侧棱SC的中点． 2A

C

解法二：过M作MN?CD于N，则

B

MN?面ABCD?BMN，则?AM,N均为Rt?．设MN?x，则AM?2?(2?x)2?x2,BM?2?2x2．在

?ABM中

AM2?AB2?BM2?2AB?BMcos 60?，解得x?1，即1ME?DC．

2 解法三：易得BC?面SDC，所以BC?MC，又在

S M D A ?Rt?SDC中，SC?22．由

C B AB?MB?|AB|?|MB|cos60得

AB?MB?AB(MC?CB)?AB?MC?DC?MC．所以

|MB|?2|MC|,?MBC?45?,|MC|?2．因此M为侧棱SC的中点．

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解法四：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系

ｚ D?xyz，设A(2,0,0)，则

Ｓ B(2,2,0),C(0,2,0),S(0,0,2)．

设M(0,y0,2?y0)，则

2,?y0?2,?2?y0Ｍ ????MB???，

Ｄ Ａ ｘ Ｃ ｙ

Ｂ AB?(0,2,0)?MB,AB??60?，故AB?MB?|AB||MB|cos60?，即

2?2?y0??2?2(y0?2)2，解得y0?1，即M(0,1,1)，所以M为侧棱SC的

中点．

(Ⅱ) 解法一：由(Ⅰ)得MB?BC2?MC2?2，又?ABM?60?,AB?2，

所以?ABM为等边三角形．又由(Ⅰ)知M为侧棱

SC的中点，SM?2,SA?6,AM?2，故

S E H D Ｇ A

S F

B

C

M SA2?SM2?AM2,?SMA?90?．取AM的中

点G，连接BG，取SA中点H，连接GH，则

BG?AM，GH?AM，由此知?BGH为二面GH中，角S?AM?B的平面角．连接BH，在?B

312BG?AM?3,GH?SM?，

222BH?AB2?AH2?222，所以2Ｇ 22M BG?GH?BH6cos?BGH???．所

2BG?GH3?6?以二面角S?AM?B的大小为arccos???．

3?? 解法二：由(Ⅰ)得MB?D A Ｎ B C BC2?MC2?2

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又?ABM?60?,AB?2，所以?ABM为等边三角形．所以取AM的中点G，连接BG，则BG?AM．取AC的中点N，连接GN,BN，则GN//SC．又由(Ⅰ)

?BGN是二面角S?AM?B的平面角的补角．知AM?SC，所以GN?AM，又

BG?3,BN?中，

26GN，GN?．在?B22ｚ Ｓ BG2?GN2?BN26．所以cos?BGN??2BG?GN3?6??BGN?arccos???，即二面角

?3??6?S?AM?B的大小为arccos??（或为?．

3??Ｄ Ａ ｘ Ｍ Ｃ ｙ

Ｂ π?arccos6） 3?211?,,?，又 解法三：由M(0,1,1),A(2,0,0)得AM的中点G?222??GB?(231,,),MS?(0,?1,1)，AM?(?2,1,1).GB?AM?0， 222MS?AM?0所以GB?AM,MS?AM．因此GB,MS等于二面角

S?AM?B的平面角．cos?GB,MS??GB?MS|GB||MS|??6．所以二面角3S?AM?B的大小为arccos(?6)． 3【解读与点评】 本小题主要考察直线和平面、平面和平面的位置关系的判定和性质，空间角的计算等基础知识，以及空间想象能力和推理能力.

立体几何主要研究空间几何体的大小、形状和位置关系，是通过空间线线、线面、面面的位置关系来实现的，研究思路有两个方向：一是进行纯粹的位置关系的演化，也就是传统立体几何方法，应用这种方式时要搞清其中剪不断的各种位置关系中的层层链接；二是以向量为工具考量位置关系以及进行角、距离等相关计算，特别是当题

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目条件易于建立空间直角坐标系时，向量的应用就显得迫不及待.因此在实际解题时，要三思而后行，要敏锐意识到哪些题目可以用向量快速求解，哪些题目用传统立体几何方法简洁，避免只重形式不看效果的生搬硬套，象本题的向量法就不比传统方法简单，也不快捷.

19．(Ⅰ) 解法一：记Ai表示事件：第i局甲获胜，i?3,4,5．Bj表示事件：第j局乙获胜，j?3,4．记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利．

因为前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B?A3?A4?B3?A4?A5?A3?B4?A5 ，由于各局的比赛结果相互独立，故P(B)?P(A3?A4)?P(B3?A4?A5)?P(A3?B4?A5)?81． 125解法二：记A表示事件：甲获得这次比赛的胜利．令甲每局比赛获胜的概率为P，

1222由题知P?0.6．P(A)?C2P(1?P)?C2P?0.648．

(Ⅱ) 解法一：?的可能取值为2，3．由于各局比赛相互独立，所以

P(??2)?P(A3?A4?B3?B4)?0.52．P(??3)?1?P(??2)?0.48．

?的分

布列为

所以E??2.48．

解法二：?的可能取值为2，3．P(??2)?0.6?0.6?0.4?0.4?0.52．

? P 2 0.52 3 0.48 P(??3)?1?P(??2)?0.48．

?的

分布列为

? P 2 0.52 3 0.48 所以E??2.48．

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