正余弦定理 海伦公式

正余弦定理 海伦公式

余弦定理

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活．

对于任意三角形 三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质 a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc 证明： 如图： ∵a=b-c

∴a^2=(b-c)^2 （证明中前面所写的a,b,c皆为向量，^2为平方）拆开即a^2=b^2+c^2-2bc 再拆开，得a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA

同理可证其他，而下面的CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc就是将CosA移到右边表示一下。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 平面几何证法： 在任意△ABC中 做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac 余弦定理的作用

(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角； (2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边.

例如：已知△ABC的三边之比为：2：1，求最大的内角. 解 设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=:2:1.

由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角.由余弦定理 cos A==- 所以∠A=120°.

再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=π3,求BC之长. 解 由余弦定理可知

BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cos A =4+9-2×2×3×=7，

正余弦定理 海伦公式

所以BC=7.

以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用

从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,

如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角一定是直角,如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边所对的角是锐角.即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。 同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。

注：a^2；b^2；c^2就是a的2次方;b的2次方；c的2次方

正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍）

这一定理对于任意三角形ABC，都有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R为三角形外接圆半径 证明 步骤1.

在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到

a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC 步骤2.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交⊙O于D. 连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C. 所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。 意义

正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。 二. 正弦定理的变形公式

(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; （条件同上）

正余弦定理 海伦公式

在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解似的唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论:

a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) c/sinC＝c/sinD=BD=2R 扩展

一.三角形面积公式：

1.海伦公式: 设P=(a+b+c)/2

S△=根号下P(P-a)(P-b)(P-c)

解释:假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

而公式里的p为半周长：

p=(a+b+c)/2

2. S△ABC=(ab/2)·sinC=(bc/2)·sinA=(ac/2)·sinB=abc/(4R)[R为外接圆半径] 3.S△ABC=ah/2

中国南宋末年数学家秦九韶发现或知道等价的公式，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余，半之。同乘于上，以小斜幂乘大斜幂，减上。余，四约之为实，开平方，得积。”若以大斜记为a，中斜记为b，小斜记为c，秦九韶的方法相当于下面的一般公式：

正余弦定理 海伦公式

像中国古代的数学家一样，他的方法没有证明。根据现代数学家吴文俊

的研究，秦九韶公式可由出入相补原理得出。一些中国学者将这个公式称为秦九韶公式。

由于任何n边的多边形都可以分割成n 2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

证明

与希罗在他的著作《Metrica》中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a,b,c的对角分别为A,B,C，则余弦定理为

正余弦定理 海伦公式

三角形面积公式的探究

设△ABC的三边为a，b，c，由解直角三角形易得三边上的高ha，hb，hc，

根据面积公

式，可以推导出另一面积公

式

. 由此公式，可以直接计算已知两边及夹角的

三角形面积，并解决一些与面积相关的问题.

一、应用面积公式，推导正弦定理

例1设△ABC的三边为a，b，c

，求证：.

证明：由三角形面积公式，得到即

.

，

上式同时除以abc，得到.

所以，.

点评：三角形面积公式由直角三角形的边角关系表示出各边上的高之后再推导出来，再运用它推导正弦定理，实质就是教材中正弦定理推导过程的简化.

三、结合面积公式，研究三角问题

例3 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c. （1）若a=4，b=5，

S=5

，求c的长度；

（2）若三角形的面积S=

，求∠C的度数；

正余弦定理 海伦公式

（3）若a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值.

解：（1）∵S＝absinC，∴sinC＝，于是∠C＝60°或∠C＝120°.

又∵c2＝a2＋b2－2abcosC，

当∠C＝60°时，c2＝a2＋b2－ab，c＝；

当∠C＝120°时，c2＝a2＋b2＋ab，c＝.

∴ c的长度为或.

（2）由S=，得absinC=. ∴ tanC=1，得C=.

（3）∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac.

又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc.

在△ABC中，由余弦定理得

cosA===，∴∠A=60°.

在△ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB.

∴ bcsinA=b2sin …… 此处隐藏：2515字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……