2014届中考数学压轴题精讲：几何证明及通过几何计算进行说理问题

3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例232013年江西省中考第24题

(2)数学思考： 在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等 腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME,则 MD与ME有怎样的数量关系？请给出证明过程； (3)类比探究： 在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作 等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME, 试判断△MDE的形状.答：_________.

Y D X S Z X

图2

图3

3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例232013年江西省中考第24题

解： (1)填写序号①②③④. (2)如图 4,作 DF⊥AB,EG⊥AC,垂足分别为 F、G. 因为 DF、EG 分别是等腰直角三角形 ABD 和等腰直角三角形 ACE 斜边上的高， 所以 F、G 分别是 AB、AC 的中点. 又已知 M 是 BC 的中点，所以 MF、MG 是△ ABC 的中位线. 所以 MF

1 1 AC , MG AB ,MF//AC,MG//AB. 2 2

所以∠BFM=∠BAC,∠MGC=∠BAC. 所以∠BFM=∠MGC.所以∠DFM=∠MGE. 因为 DF、EG 分别是直角三角形 ABD 和直角三 角形 ACE 斜边上的中线， 所以 EG

1 1 AC , DF AB . 2 2

Y D X S Z X

所以 MF=EG,DF=NG. 所以△ DFM≌△MGE.所以 DM=ME. (3)△ MDE 是等腰直角三角形.

图4

3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例232013年江西省中考第24题

考点伸展第(2)题和第(3)题证明△ DFM≌△MGE 的思路是相同的， 不同的是证明∠DFM=∠MGE 的过程有一些不同. 如图 4,如图 5,∠BFM=∠BAC=∠MGC. 如图 4,∠DFM=90° +∠BFM,∠MGE=90° +∠MGC, 所以∠DFM=∠MGE. 如图 5,∠DFM=90° -∠BFM,∠MGE=90° -∠MGC, 所以∠DFM=∠MGE.

Y D X S Z X

图4

图5

3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例242013年上海市黄浦区中考模拟第24题 已知二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, -3). (1)求此二次函数的解析式； (2)若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作 x 轴的 平行线交二次函数图像于点B,分别过点B、A作 x 轴的垂线， 垂足分别为C、D,且所得四边形ABCD恰为正方形. ①求正方形的ABCD的面积； ②连接PA、PD,PD交AB于点E,求证：△PAD∽△PEA.

Y D X S Z X

3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例242013年上海市黄浦区中考模拟第24题 c 1, 4 2b 1 3. b 0, c 1.

解： (1)将点 P(0, 1)、Q(2, -3)分别代入 y=-x2+bx+c,得 解得

所以该二次函数的解析式为 y=-x2+1. (2)①如图 1,设点 A 的坐标为(x, -x2+1), 当四边形 ABCD 恰为正方形时，AD=AB. 此时 yA=2xA. 解方程-x2+1=2x,得 x 1 2 . 所以点 A 的

横坐标为 2 1 .

图1

Y D X S Z X

因此正方形 ABCD 的面积等于 [2( 2 1)]2 12 8 2 .

3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例242013年上海市黄浦区中考模拟第24题

②设 OP 与 AB 交于点 F, 那么 PF OP OF 1 2( 2 1) 3 2 2 ( 2 1)2 .

PF ( 2 1)2 所以 tan PAE 2 1. AF 2 1又因为 tan PDA tan DPO

OD 2 1, OP

所以∠PAE=∠PDA. 又因为∠P 为公共角，所以△ PAD∽△PEA.

图1

Y D X S Z X

3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例242013年上海市黄浦区中考模拟第24题

考点伸展事实上，对于矩形 ABCD,总有结论△ PAD∽△PEA.证明如下： 如图 2,设点 A 的坐标为(x, -x2+1), 那么 PF=OP-OF=1-(-x2+1)=x2.

PF x 2 所以 tan PAE x. AF x又因为 tan PDA tan DPO

OD x, OP图2

所以∠PAE=∠PDA.因此△ PAD∽△PEA.

Y D X S Z X