第二章物理系统的数学模型及传递函数

控制工程基础(第二章)

2011年

第二章 控制系统的动态数学模型一、系统数学模型 二、传递函数

三、典型环节的传递函数四、系统方框图及其联接 五、物理系统传递函数推导

第二章 控制系统的动态数学模型本章要熟悉下列内容： 建立基本环节(质量-弹簧-阻尼系统、电路 网络和电机)的数学模型及模型的线性化 重要的分析工具：拉氏变换及反变换 经典控制理论的数学基础：传递函数 控制系统的图形表示：方块图及信号流图 建立实际机电系统的传递函数及方块图

建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系 统进行分析、综合，是机电控制工程的基本方法。如 果将物理系统在信号传递过程中的动态特性用数学表 达式描述出来，就得到了组成物理系统的数学模型。 经典控制理论采用的数学模型主要 以传递函数为基础。而现代控制理论采 用的数学模型主要以状态空间方程为基 础。而以物理定律及实验规律为依据的 微分方程又是最基本的数学模型，是列 写传递函数和状态空间方程的基础。

一、系统数学模型 系统的数学模型数学模型是描述系统输入、输出量以及内部 各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系 统结构及其参数与其性能之间的内在关系。 静态数学模型：静态条件(变量各阶导数为 零)下描述变量之间关系的代数方程。反映 系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之 间关系的数学模型。

动态数学模型：描述变量各阶导数之间 关系的微分方程。描述动态系统瞬态与过渡 态特性的模型。也可定义为描述实际系统各 物理量随时间演化的数学表达式。动态系统 的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号， 而且与它过去的工作状态有关。微分方程或 差分方程常用作动态数学模型。 对于给定的动态系统，数学模型表达不 唯一。工程上常用的数学模型包括：微分方 程，传递函数和状态方程。对于线性系统， 它们之间是等价的。

建立数学模型的方法 解析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化 学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。 实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出 响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方 法也称为系统辨识。

数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时 应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。

数学模型的形式 时间域：微分方程 差分方程 状态方程 (一阶微分方程组) 复数域：传递函数 结构图

频率域：频率特性

控制系统的运动微分方程机电控制系统的受控对象是机械系统。在 机械系统中，有些构

件具有较大的惯性和 刚度，有些构件则惯性较小、柔度较大。 在集中参数法中，我们将前一类构件的弹 性忽略将其视为质量块，而把后一类构件 的惯性忽略而视为无质量的弹簧。这样受 控对象的机械系统可抽象为质量-弹簧-阻 尼系统。

进给传动装置示意图及等效力学模型

组合机床动力滑台及其力学模型

控制系统微分方程的列写 机械系统 机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可 简化为质量、弹簧和阻尼三个要素： 质量fm(t) x (t) v (t)

m

参考点

d d2 f m (t ) m v(t ) m 2 x(t ) dt dt

弹簧x1(t) v1(t) fk(t) k x2(t) v2(t) fk(t)

对于弹簧， 受力相同， 变形量不同。

f k (t ) k x1 (t ) x2 (t ) kx(t ) k

v1 (t ) v2 (t ) dt t t

k v(t )dt

阻尼v1(t) x1(t) fD(t) D v2(t) x2(t) fD(t)

f D (t ) D v1 (t ) v2 (t ) Dv(t ) dx1 (t ) dx2 (t ) D dt dt dx(t ) D dt

机械平移系统fi(t) m m0 xo(t) fk(t) fD(t) D fi(t) fm(t) 静止(平衡)工作点作为 0 xo(t) 零点，以消除重力的影响

k

机械平移系统 及其力学模型

d2 fi (t ) f D (t ) f k (t ) m dt 2 xo (t ) f k (t ) kxo (t ) d f D (t ) D xo (t ) dt

d2 d m 2 yo (t ) D yo (t ) kyo (t ) fi (t ) dt dt

式中，m、D、k通常均为常数，故机械平移系 统可以由二阶常系数微分方程描述。 显然，微分方程的系数取决于系统的结 构参数，而阶次等于系统中独立储能元 件(惯性质量、弹簧)的数量。

弹簧-阻尼系统fi(t) 0 xo(t) k D

fi (t ) f D (t ) f k (t )d D xo (t ) kxo (t ) f i (t ) dt

系统运动方程为一阶常系数 微分方程。弹簧-阻尼系统

机械旋转系统

i(t)0k 柔性轴 齿轮

o(t) 0Tk(t)J TD(t)

J —旋转体转动惯量； k —扭转刚度系数； D —粘性阻尼系数

D Tk (t ) k i (t ) o (t ) d TD (t ) D o (t ) dt d2 J 2 o (t ) Tk (t ) TD (t ) dt d2 d J 2 o (t ) D o (t ) k o (t ) k i (t ) dt dt

粘性液体

电路系统 电路系统三个基本元件：电阻、电容和电感。 电阻 i(t) R u(t)

u(t ) R i(t )