2017-2018学年高中人教A版数学必修4-45分钟课时作业与单元测试卷

第二章章末检测

班级____ 姓名____ 考号____ 分数____

本试卷满分150分，考试时间120分钟.

一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分.在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.下列各式叙述不正确的是( )

A.若a ＝λ b ，则a 、b 共线

B.若b ＝3a (a 为非零向量)，则a 、b 共线

C.若m ＝3a ＋4b ，n ＝32

a －2

b ，则m ∥n D.若a ＋b ＋

c ＝0，则a ＋b ＝－c

答案：C

【试题解析】：根据共线向量定理及向量的线性运算易解.

2.已知向量a ，b 和实数λ，下列选项中错误的是( )

A.|a |＝a ·a

B.|a ·b |＝|a |·|b |

C.λ(a ·b )＝λa ·b

D.|a ·b |≤|a |·|b |

答案：B

【试题解析】：|a ·b |＝|a |·|b ||cos θ|，只有a 与b 共线时，才有|a ·b |＝|a ||b |，可知B 是错误的.

3.已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )

A.????35，－45

B.????45

，－35 C.????－35，45 D.???

?－45，35 答案：A

【试题解析】：AB →＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|

＝15(3，－4)＝????35，－45. 4.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )

A.AO →＝OD →

B.AO →＝2OD →

C.AO →＝3OD →

D.2AO →＝OD →

答案：A

【试题解析】：由于2OA →＋OB →＋OC →＝0，则OB →＋OC →＝－2OA →＝2AO →.

所以12

(OB →＋OC →)＝AO →，又D 为BC 边中点， 所以OD →＝12

(OB →＋OC →).所以AO →＝OD →. 5.若|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为( )

A.π6

B.π4

C.π3

D.π2

答案：C

【试题解析】：a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝1×6×cos θ－1＝2，cos θ＝12，θ∈[0，π]，故θ＝π3

. 6.若四边形ABCD 满足：AB →＋CD →＝0，(AB →＋DA →)⊥AC →，则该四边形一定是( )

A.矩形

B.菱形

C.正方形

D.直角梯形

答案：B

【试题解析】：由AB →＋CD →＝0?AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，即四边形ABCD 是平行四边形，

又(AB →＋DA →)⊥AC →?AC →⊥DB →，所以四边形ABCD 是菱形.

7.给定两个向量a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，若(a ＋x b )⊥(a －b )，则x 等于( )

A.1327

B.132

C.133

D.727

答案：D

【试题解析】：a ＋x b ＝(2,1)＋(－3x,4x )＝(2－3x,1＋4x )，a －b ＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－

3)，∵(a ＋x b )⊥(a －b )，∴(2－3x )·5＋(1＋4x )·(－3)＝0，∴x ＝727

. 8.如图所示，在重600N 的物体上拴两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )

A.300 3N,300 3N

B.150N,150N

C.300 3N,300N

D.300N,300N

答案：C

【试题解析】：如图：作?OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，|OA →|＝

|OC →|cos30°＝300 3N.

|OB |→＝|OC →|sin30°＝300N.

9.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52

，则a 与c 的夹角为( ) A.30° B.60°

C.120°

D.150°

答案：C

【试题解析】：由条件知|a |＝5，|b |＝25，a ＋b ＝(－1，－2)，∴|a ＋b |＝5，∵(a ＋b )·c ＝52，∴5×5·cos θ＝52

，其中θ为a ＋b 与c 的夹角，∴θ＝60°，∵a ＋b ＝－a ，∴a ＋b 与a 方向相反，∴a 与c 的夹角为120°.

10.若向量AB →＝(1，－2)，n ＝(1,3)，且n ·AC →＝6，则n ·BC →等于( )

A.－8

B.9

C.－10

D.11

答案：D

【试题解析】：n ·AB →＝1－6＝－5，n ·AC →＝n ·(AB →＋BC →)＝n ·AB →＋n ·BC →＝6，∴n ·BC →＝11.

11.在边长为1的正三角形ABC 中，BD →＝13

BA →，E 是CA 的中点，则CD →·BE →等于( ) A.－12 B.－23

C.－13

D.－16

答案：A

【试题解析】：建立如图所示的直角坐标系，则A ????－12，0，B ????12，0，C ???

?0，32，依题意设D (x 1,0)，E (x 2，y 2)，∵BD →＝13BA →，∴????x 1－12，0＝13(－1,0)，∴x 1＝16

. ∵E 是CA 的中点，∴CE →＝12CA →，又CA →＝????－12，－32，∴x 2＝－14，y 2＝34. ∴CD →·BE →＝????16，－32·????－34，34＝16×????－34＋????－32×34

＝－12.故选A. 12.已知|a |＝2 2，|b |＝3，a ，b 的夹角为π4

，如图所示，若AB →＝5a ＋2b ，AC →＝a －3b ，且D 为BC 中点，则AD →的长度为( )

A.152

B.152

C.7

D.8

答案：A 【试题解析】：AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(5a ＋2b ＋a －3b )＝12

(6a －b ) ∴|AD →|2＝14(36a 2－12ab ＋b 2)＝2254

. ∴|AD →|＝152

. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.

13.已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则a ·b ＝________.

答案：3

【试题解析】：a ·b ＝2×3×32

＝3. 14.已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________. 答案：[0,1] 【试题解析】：∵b ·(a －b )＝0，∴a ·b ＝b 2，即|a ||b |·cos θ＝|b |2，当b ≠0时，|b |＝|a |cos θ＝cos θ∈(0,1]，所以|b |∈[0,1]. 15.设向量a 与b 的夹角为α，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，则cos α＝________.

答案：31010

【试题解析】：设b ＝(x ，y )，则2b －a ＝(2x －3,2y －3)＝

(－1,1)，∴x ＝1，y ＝2，则b ＝(1,2)，

cos α＝a ·b |a |·|b |＝93 2×5＝310＝31010.