等差数列与等比数列-高考高考文科数学热点难点专题专题突破(2)

＝S 2·(S 6－S 4)得S 6＝21a ，同理得S 8＝85a ， 所以S 8S 4＝85a 5a

＝17. 【答案】17

21．已知数列{x n }各项均为正整数，且满足x n ＋1＝????? x n 2

，x n 为偶数，x n ＋1，x n 为奇数，n ∈N *.若x 3＋x 4＝3，则x 1所有可

能取值的集合为________．

【解析】由题意得x 3＝1，x 4＝2或x 3＝2，x 4＝1.

当x 3＝1时，x 2＝2，从而x 1＝1或4；

当x 3＝2时，x 2＝1或4，

因此当x 2＝1时，x 1＝2，当x 2＝4时，x 1＝8或3.

综上，x 1所有可能取值的集合为{1,2,3,4,8}．

【答案】{1,2,3,4,8}

22．已知数列{a n }是等差数列，满足a 1＝2，a 4＝8，数列{b n }是等比数列，满足b 2＝4，b 5＝32.

(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；

(2)求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .

【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝

a 4－a 13＝2， 所以a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝2＋(n －1)×2＝2n .

设等比数列{b n }的公比为q ，由题意得q 3＝b 5b 2＝8，解得q ＝2.

因为b 1＝b 2q ＝2，所以b n ＝b 1·q

n －1＝2×2n －1＝2n . (2)由(1)可得，S n ＝n 2＋2n 2＋－2n 1－2＝n 2＋n ＋2n ＋1－2.

23．已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23

a n ＋n －4，

b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．

(1)对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列；

(2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．

(1)证明：假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即? ????23λ－32＝λ? ??

??49λ－4，故49λ2－4λ＋9＝49

λ2－4λ，即9＝0，这与事实相矛盾．所以对任意实数λ，数列{a n }都不是等比数列． (2)因为b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)

n ＋1·? ????23a n －2n ＋14＝－23(－1)n (a n －3n ＋21)＝－23b n ，b 1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，b 1＝0(n ∈N *)，此时{b n }不是等比数列；

当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0，

则b n ≠0，所以b n ＋1b n ＝－23

(n ∈N *)． 故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．

24．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a ＝(a 1,1)，b ＝(1，a 10)，若a·b ＝24，且S 11＝143，数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足12n a -＝λT n －(a 1－1)(n ∈N *)．

(1)求数列{a n }的通项公式及数列???

???1a n a n ＋1的前n 项和M n ；

(2)是否存在非零实数λ，使得数列{b n }为等比数列？并说明理由．

(2)因为1

2n a -＝λT n －(a 1－1)(n ∈N *)，且a 1＝3， 所以T n ＝4n λ＋2λ

， 当n ＝1时，b 1＝6λ

； 当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝3·4n －1λ

， 此时有b n b n －1

＝4，若{b n }是等比数列， 则有b 2b 1＝4，而b 1＝6λ，b 2＝12λ

，彼此相矛盾， 故不存在非零实数λ使数列{b n }为等比数列．