等差数列与等比数列-高考高考文科数学热点难点专题专题突破

等差数列与等比数列

1．已知等差数列{a n }中，a 4＝9，S 4＝24，则a 7等于( )

A ．3

B ．7

C ．13

D ．15

答案 D

解析 由于数列为等差数列，依题意得????

? a 1＋3d ＝9，4a 1＋6d ＝24，

解得d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝9＋6＝15.

2．已知等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠－1，且a 5＋a 4＝3()a 3＋a 2，则 9a 1a 2a 3…a 9等于( )

A ．－9

B ．9

C ．－81

D ．81

答案 B

解析 根据题意可知a 5＋a 4a 3＋a 2

＝q 2＝3， 而9a 1a 2a 3…a 9＝9a 95＝a 5＝a 1·q 4＝1×32＝9.

3．等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前6项和为( )

A ．－24

B ．－3

C ．3

D ．8

答案 A

解析 由已知条件可得a 1＝1，d ≠0，

由a 23＝a 2a 6，可得(1＋2d )2

＝(1＋d )(1＋5d )，

解得d ＝－2或d ＝0(舍)．

所以S 6＝6×1＋－2＝－24. 4．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是( )

A ．13

B ．12

C ．11

D ．10

答案 B

解析 设等比数列为{a n }，其前n 项积为T n ，由已知得a 1a 2a 3＝2，a n a n －1a n －2＝4，可得(a 1a n )3＝2×4，a 1a n ＝2，

∵T n ＝a 1a 2…a n ，∴T 2n ＝(a 1a 2…a n )2

＝(a 1a n )(a 2a n －1)…(a n a 1)＝(a 1a n )n ＝2n ＝642＝212，

∴n ＝12.

5．已知数列{a n }满足15n a ＝25·5a n ，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则

13log (a 5＋a 7＋a 9)等于( ) A ．－3 B ．3 C ．－13 D.13

答案 A

解析 ∵15n a ＋＝25·5n a ＝25n a ＋，

∴a n ＋1＝a n ＋2，

∴数列{a n }是等差数列，且公差为2.

∵a 2＋a 4＋a 6＝9，

∴3a 4＝9，a 4＝3.

∴＝17

3log 3a ＝＝13log 27＝－3.

6．数列{a n }是以a 为首项，b 为公比的等比数列，数列{b n }满足b n ＝1＋a 1＋a 2＋…＋a n (n ＝1,2，…)，数列{}c n 满足c n ＝2＋b 1＋b 2＋…＋b n (n ＝1,2，…)，若{}c n 为等比数列，则a ＋b 等于(

) A. 2 B ．3 C. 5 D ．6

答案 B

\7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝15，且满足()2n －5a n ＋1＝()2n －3a n ＋4n 2－16n ＋15，已知n ，m ∈N *，n >m ，则S n －S m 的最小值为( )

A ．－494

B ．－498

C ．－14

D ．－28 答案 C

解析 根据题意可知

(2n －5)a n ＋1＝(2n －3)a n ＋(2n －5)(2n －3)，

式子的每一项都除以(2n －5)(2n －3)，

可得a n ＋12n －3＝a n 2n －5

＋1， 即a n ＋1

n ＋－5－a n

2n －5＝1， 所以数列????

??a n 2n －5是以152－5＝－5为首项，以1为公差的等差数列， 所以a n 2n －5

＝－5＋(n －1)·1＝n －6， 即a n ＝(n －6)(2n －5)，

由此可以判断出a 3，a 4，a 5这三项是负数，

从而得到当n ＝5，m ＝2时，S n －S m 取得最小值，

且S n －S m ＝S 5－S 2＝a 3＋a 4＋a 5＝－3－6－5＝－14.

8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＋a 12－a 8＝8，a 10－a 6＝4，则S 23＝( )

A ．23

B ．96

C ．224

D ．276

【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得a 4＋a 12－a 8＝2a 8－a 8＝a 8＝8，a 10－a 6＝4d ＝4，解得d ＝1，

所以a 8＝a 1＋7d ＝a 1＋7＝8，解得a 1＝1，所以S 23＝23×1＋23×222

×1＝276，选D. 【答案】D

9．已知数列{a n }为等比数列，且a 1＋1，a 3＋4，a 5＋7成等差数列，则公差d 为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

【解析】设{a n }的公比为q ，由题意得2(a 3＋4)＝a 1＋1＋a 5＋7?2a 3＝a 1＋a 5?2q 2＝1＋q 4?q 2＝1，即a 1＝a 3，d ＝a 3＋4－(a 1＋1)＝4－1＝3，选B.

【答案】B

10．等比数列{a n }中，已知a 1＋a 3＝8，a 5＋a 7＝4，则a 9＋a 11＋a 13＋a 15的值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．5

【解析】因为{a n }为等比数列，所以a 5＋a 7是a 1＋a 3与a 9＋a 11的等比中项， 所以(a 5＋a 7)2＝(a 1＋a 3)(a 9＋a 11)，

故a 9＋a 11＝a 5＋a 72a 1＋a 3＝428＝2； 同理，a 9＋a 11是a 5＋a 7与a 13＋a 15的等比中项，

所以(a 9＋a 11)2＝(a 5＋a 7)(a 13＋a 15)，故a 13＋a 15＝a 9＋a 112a 5＋a 7＝224＝1.所以a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝2＋1＝3. 【答案】C

11．已知等比数列{a n }中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( )

A ．(－∞，－1]

B ．(－∞，0)∪[1，＋∞)

C ．[3，＋∞)

D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)

【答案】D

12．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝38n ＋142n ＋1(n ∈N *)，则a 6b 7

＝( ) A ．16 B.24215 C.43223 D.49427

【解析】令S n ＝38n 2＋14n ，T n ＝2n 2＋n ，∴a 6＝S 6－S 5＝38×62＋14×6－(38×52＋14×5)＝38×11＋14；b 7＝T 7－T 6＝2×72＋7－(2×62＋6)＝2×13＋1，∴a 6b 7＝

38×11＋142×13＋1＝43227＝16.故选A. 【答案】A

13．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则2S n ＋16a n ＋3

(n ∈N *)的最小值为( )

A ．4

B ．3

C ．23－2 D.92

【解析】∵a 1＝1，a 1、a 3、a 13成等比数列，

∴(1＋2d )2＝1＋12d .得d ＝2或d ＝0(舍去)

∴a n ＝2n －1，

∴S n ＝n 1＋2n －2＝n 2，

∴2S n ＋16a n ＋3＝2n 2

＋162n ＋2

.令t ＝n ＋1， 则2S n ＋16a n ＋3＝t ＋9t －2≥6－2＝4当且仅当t ＝3， 即n ＝2时等号成立，∴2S n ＋16a n ＋3

的最小值为4.故选A. 【答案】A

14．已知等差数列{a n }的公差不为0，a 1＝1，且a 2，a 4，a 8成等比数列，设{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝________.

15．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝8，且S n ≤S 7，则公差d 的取值范围是________．

答案 ??????－85

，－43 解析 ∵a 2＝8＝a 1＋d ，

∴a 1＝8－d ，

S n ＝na 1＋n n －2d ＝(8－d )n ＋n n －2d

＝12dn 2＋? ??

??8－32d n ， 对称轴为n ＝32－8d

， ∵S n ≤S 7，∴S 7为S n 的最大值，

由二次函数的性质可得，????? 132≤32－8d ≤152

，d <0，

得－85≤d ≤－43

， 即d 的取值范围是??????－85，－43.

16．已知数列{a n }与??????a 2

n n (n ∈N *)均为等差数列，且a 1＝2，则a 1＋? ????a 222＋? ????a 333＋…＋? ????a n n n ＝________. 答案 2n ＋1－2

解析 设a n ＝2＋(n －1)d ，

所以a 2n n ＝[2＋n －d ]2n

＝d 2n 2＋

d －2d 2n ＋d －2n ， 由于????

??a 2n n 为等差数 …… 此处隐藏：3512字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……