第八讲 根与系数的关系及应用

第八讲 根与系数的关系及应用 

    如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两根为x1，x2，那么

反过来，如果x1，x2满足x1+x2=p，x1x2=q，则x1，x2是一元二次方程x2-px+q=0的两个根．一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系．利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具．   

1．已知一个根，求另一个根  

利用韦达定理，我们可以通过方程的一个根，求出另一个根．

例1 方程(1998x)2-1997·1999x-1=0的大根为a，方程x2＋1998x-1999=0的小根为b，求a-b的值． 解 先求出a，b． 

由观察知，1是方程(1998x)2-1997·1999x-1=0的根，于是由韦达

又从观察知，1也是方程x2＋1998x-1999=0的根，此方程的另一根为-1999，从而b=-1999． 所以a-b=1-(-1999)=2000．  例2 设a是给定的非零实数，解方程 

解 由观察易知，x1=a是方程的根．又原方程等价于 

2．求根的代数式的值   

在求根的代数式的值的问题中，要灵活运用乘法公式和代数式的恒等变形技巧．

  例3 已知二次方程x2-3x＋1=0的两根为α，β，求：

(3)α3＋β3；(4)α3-β3．  解 由韦达定理知 

α+β=3，αβ=1． 

(3)α3＋β3=(α+β)(α2-αβ+β2)

=(α+β)[(α+β)2-3αβ] =3(9-3)=18； 

  (4)α3-β3=(α-β)(α2+αβ+β2)

=(α-β)[(α+β)2-αβ]

例4 设方程4x2-2x-3=0的两个根是α和β，求4α2＋2β的值．

  解 因为α是方程4x2-2x-3=0的根，所以

4α2-2α-3＝0，

即

4α2=2α＋3．

4α2+2β=2α+3+2β=2(α+β)+3=4．

例5 已知α，β分别是方程x2＋x-1=0的两个根，求2α5+5β3的值．

  解 由于α，β分别是方程x2＋x-1=0的根，所以

α2+α-1=0，β2+β-1=0，

即 α2=1-α，β2=1-β．

α5=(α2)2·α=(1-α)2α=(α2-2α+1)α

  =(1-α-2α+1)α=-3α2+2α

=-3(1-α)+2α=5α-3， 

  β3=β2·β=(1-β)β=β-β2 =β-(1-β)=2β-1． 所以

2α5+5β3=2(5α-3)+5(2β-1) =10(α+β)-11=-21． 

说明 此解法的关键在于利用α，β是方程的根，从而可以把它们的幂指数降次，最后都降到一次，这种方法很重要． 

例6 设一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个实根的和为s1，平方和为s2，立方和为s3，求as3＋bs2＋cs1的值．

解 设x1，x2是方程的两个实根，于是

所以 as3＋bs2＋cs1=0．

说明 本题最“自然”的解法是分别用a，b，c来表示s1，s2，s3，然后再求as3＋bs2＋cs1的值．当然这样做运算量很大，且容易出错．下面我们再介绍一种更为“本质”的解法． 

另解 因为x1，x2是方程的两个实根，所以

同理

将上面两式相加便得

as3＋bs2＋cs1＝0．

3．与两根之比有关的问题   

例7 如果方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根之比等于常数k，则系数a，b，c必满足：

kb2=(k＋1)2ac．

证 设方程的两根为x1，x2，且x1=kx2，由韦达定理 

由此两式消去x2得

即

kb2＝(k＋1)2ac．

例8 已知x1，x2是一元二次方程

4x2-(3m-5)x-6m2＝0

解 首先，△=(3m-5)2＋96m2＞0，方程有两个实数根．由韦达定理知

从上面两式中消去k，便得 

即 m2-6m+5=0，

所以 m1=1，m2=5．   

4．求作新的二次方程   

例9 已知方程2x2-9x＋8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一根为原方程两根差的平方． 

解 设x1，x2为方程2x2-9x＋8=0的两根，则

设所求方程为x2+px+q=0，它的两根为x'1，x'2，据题意有

故

所以，求作的方程是

36x2-161x＋34=0． 

例10 设x2-px＋q=0的两实数根为α，β．

  (1)求以α3，β3为两根的一元二次方程；

(2)若以α3，β3为根的一元二次方程仍是x2-px＋q=0，求所有这样的一元二次方程．解 (1)由韦达定理知 

α+β=p，αβ=q， 

所以

α3+β3=(α+β)[(α+β)2-3αβ]=p(p2-3q)，

α3·β3=(αβ)3=q3．

所以，以α3，β3为两根的一元二次方程为 

x2-p(p2-3q)x+q3=0．

(2)由(1)及题设知 

由②得q=0，±1．若q=0，代入①，得p=0，±1；若q=-1，代入①， 

以，符合要求的方程为   

x2=0，x2-x=0，x2+x=0，x2-1=0．

5．证明等式和不等式   

利用韦达定理可以证明一些等式和不等式，这常常还要用判别式来配合． 例11 已知实数x，y，z满足 

x=6-y，z2=xy-9，

求证：x=y． 

证 因为x＋y=6，xy=z2＋9，所以x，y是二次方程

t2-6t+(z2+9)=0

的两个实根，于是这方程的判别式

△=36-4(z2+9)=-4z2≥0，

即z2≤0．因z为实数，显然应有z2≥0．要此两式同时成立，只有z=0，从而△=0，故上述关于t的二次方程有等根，即x=y． 

例12 若a，b，c都是实数，且 

a＋b＋c=0，abc=1， 

证 由a＋b＋c=0及abc=1可知，a，b，c中有一个正数、两个负数，不妨设a是正数，由题意得

于是根据韦达定理知，b，c是方程 

的两个根．又b，c是实数，因此上述方程的判别式 

因为a＞0，所以 

a3-4≥0，a3≥4，

例13 知x1，x2是方程4ax2-4ax+a+4=0的两个实根．

解 (1)显然a≠0，由△=16a2-16a(a+4)≥0，得a＜0．由韦达定理知

所以

…… 此处隐藏：1466字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……