关于二重积分的一个计算公式

第２１卷第１期

２００９年３月

塔里木大学学报

Ｊｏｕｒｎａｌｏｆ

Ｔａｒｉｍ

Ｕ＇ｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

Ｖ０１．２ｌＮｏ．１

Ｍａｒ．２００９

文章编号：１００９—０５６８（２００９）０１—００４９－－０２

关于二重积分的一个计算公式

晁增福

（塔里木大学信息工程学院，新疆

阿拉尔８４３３００）

摘要利用分部积分法给出了关于二霞积分的一个计算公式，同时给出了两个有用的推论，并通过具体例题说明其应用。关键词分部积分；重积分；累次积分

中图分类号：０１７２．２

文献标识码：Ａ

ＡＦｏｒｍｕｌａｏｆＤｏｕｂｌｅＩｎｔｅｇｒａｌ

ＣｈａｏＺｅｎｇｆｕ

（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｔａｒｉｍ

Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ａｌａｒ，Ｘｉｎｊｉａｎｇ

８４３３０）

Ａｂｓｔｒａｃｔｐｌａｉｎｓ

ｔｈｅ

Ｔｈｉｓ

ｕｓｅ

ｐａｐｅｒ

ｏｂｔａｉｎｓ

ａ

ｆｏｒｍｕｌａｏｆｔｈｅｄｏｕｂｌｅｉｎｔｅｇｒａｌｂｙｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｂｙｐａｒｔｓａｎｄｔＷＯｕｓｅｆｕｌ

ｃｏｒｏｌｌａｒｉｅｓ。ａｎｄａｌｓｏ

ｅｘ—

ｏｆｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓｂｙｓｈｏｗｉｎｇｅｘａｍｐｌｅｓ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ

ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｂｙｐａｒｔｓ；ｄｏｕｂｌｅｉｎｔｅｇｒａｌ；ｉｔｅｒａｔｅｓｉｎｔｅｇｒａｌ

我们知道，计算二重积分的主要方法是化二重积分为两次定积分。即累次积分法…。利用累次积分法计算二重积分时首先要根据积分区域的类型选择合适的积分顺序。但麻烦的是对有些题积分顺序不仅与区域类型有关，还与被积函数有关。例如文心３在计算累次积分

其中即）＝殿似，ｙ）ｄｙ

，∞＝■堂宁妒ｍ，１３（ｘ）１１３＇（ｘ）－ｆＩｘ删晰）

证因为函数Ｆ（ｘ）一ｘ：

Ｘ的一个函数

所以有分部积分法可以得到

ｕｔＸＪ

口３

ｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ是关于

Ｊ０

ｆ１级ｆ１ｅ－ｙ２ｄｙ

Ｊ

ｏ

和

‘“

ｆｈ咖ｒ坐出时指出，不变换积分次序不能

‘●ｙ“ｘ

计算。事实我们可以不变换积分次序，利用分部积分法得到这两个重积分的值。１

，＝ｒ出Ｃ：’ｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ＝ｒＦ“）ｄｘ＝ｘ ，ｏ）一Ｊ：Ｊ ，（ｘ）ｄｘ

又有莱布尼兹公式知，其中

主要结论

定理如果函数ｆ（ｘ，ｙ）及其偏导数鲢譬掣都

在矩形区域Ｒ＝Ｆａ，ｂ］×Ｌｃ，ｄ］上连续，函数ａ（ｘ）与ｐ（ｘ）都在区间［ａ，ｂ］上可微，且

Ｃ≤ａ（Ｘ）≤ｆＪＯ）≤ｄ（ａ≤工≤ｂ）

尸”删鱼警砂＋ｍ胁瞅ｘ）－ｆｉｘ砧∥∞

（证毕）．

这个定理将二重积分分解成了两部分之和：第一部分中是关于Ｙ的定积分；第二部分是关于ｘ的

¨。，则二重积分

，＝ｒ吨：ｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ＝胛（工尤一ｂａＸ．脚）出

①收稿日期：２００８一０７—２６

定酰卯似’掣咖Ｌ州ｆＰ（款。工，ｙ）ｄｙ更Ｊａ（ｘ）

反

…

ｏｄ（。’

作者简介：晁增福（１９８１一），男．助教，在读硕士，主要从事基础数学教学和研究ｔ作。Ｅ—ｍａｉｌ：ｅｈａｏｚｆｆ园１６３．ｅｏｍ

万方数据

５０ 塔里木大学学报

第２１卷

例１

计算二重积分，＝Ⅱｌｎ（ｘｙ）ｄｃｒ，其中

Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）Ｉｌ≤少≤ｘ，１≤ｘ≤２）

解令Ｆ（ｘ）＝』｝ｌｎ（ｘｙ）ｄｙ，则

尸∽＝，ｊ≯删ｎ州一圭＋２ｈｘ

所以

ｔ＝ｆｆｌｎ协洳＝ｆｄｘｊ＇（１ｎ（ｘｙ）ｄｙ＝ｘ尸ｏ）ｆ—Ｊｊ∥ｏ）出

＝２，（Ｄ

２）一以１）一Ｉｉ

Ｘ（｜一三＋２１ｎｘ）出

＝２ｔ２ｉｎ２ｙ＠一』１２工ｄｒ＋『１２ｄｘ－２ｔ２ｘｌｎｘｄｘ

＝ｔ４１ｎ４—２１＿２）一吾小（４ｋｌ

＝

４一２１ｎ２

ｎ一２）一号＋１一（４１４（２２－争＝４１ｎ４—６１ｎ２—１１≯２一

一

』；』’

髁公式中黼州ｇ（，ｘ）’掣砂挪么跏

就可以利用这个定理将二重积分分解成相互独立的两个定积分，这样就不存在交换积分次序的问题。为此我们给出了下面两个有用的推论。

推论１若厂（而ｙ）＝ｒｅ（ｘ），则

，＝ｒ出殿吣协＝ｘ州刮：一Ｊ：ｘ川ｚ胁

其中

Ｆ（ｘ）＝‘ｐ（ｘ）［ｐ（ｘ）一仪（ｚ）】

Ｆ’（ｘ）＝‘Ｐ’（工）【Ｄ（ｘ）－－［Ｘ（曲】＋ｑＫｘ）［Ｐ’（曲一０Ｌ’（ｘ）】

推论２若ｆ（ｘ，ｙ）＝、Ｉ，（ｙ），则

，＝ｊｐ。ｂ焱Ｊｅ。ｌｌ（（，ｘ，）Ｖ（ｙ）咖＝ｘ ，ｏ尤一ｒ石 Ｆ＇（ｘ）ｄｘ

其中：警黧Ｚ篡肛Ⅸｂ沁例

例２计算二重积分

１＝Ｅ“砂只。鼍芋出

解令，，（ｙ）＝ｔ了ｓｉｎ

ｘ威删

Ｆ７（少）＝一

ｓｉｎ（ｙ一兀）

由定理知

ｙ一兀

万方数据

，＝ｆ的坊：）｝珊《一ｆ娥姗＝２ｌ【Ｆ㈤一亿脚）《ｙ警≠咖＝唷ｒ争＋ｍ，掣扣ｆ掣咖

＝一∞ｓ（），一Ｒ）ｅ：２

例３计算二重积分』＝Ｊ：：出ｆ

ｅ－ｙ２

（推论

２的情况）

解令Ｆ（曲＝

，则

Ｆ’＠）＝一Ｐ。‘，ｉｅ－ｙ由２ｄ定ｙ理知

，＝ｊ：ｅ（ｘ）ａｘ＝工Ｆ（Ｘ）ｉｏ—ｆ：妒≮触＝ＦＯ）＋－，出＝扣÷）

我们同样可以写出Ｙ一型区域对应二重积分的公式及其推论，这里只给出公式：

ｊ＝筻ｄｙｌ冀ｆｂ，讣ｄｘ＝ｙ Ｆ（ｎ一￡ｙ－Ｆ＇（ｙ）ｄｙ

其中

，◇）＝舢（ｙ）’ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ

Ｆ，《力：ｆ８ｆ：’曼￡！至盟级＋ｆｉｘ，ｐ（力够，（ｙ）－ｆ［ｘ，疆（夕）ｂ，（），）

Ｊａ‘＂

ＯＶ

２

结束语

这个公式一方面为我们计算二重积分提供了新

思路，另一方面利用这个公式计算某砦累次积分时，可以省掉冈需交换积分次序带来的ｌ田ｊ图、定限的麻烦，从而降低了学习难度。同时，我们也应该注意到利用这个公式计算重积分并不一定是最优的，对不

同类型的题采用合适的方法才能收到事半功倍的效

果。

参考文献

［１］申京浩，杨奎元等．数学分析（下＞［Ｍ］．辽宁：辽宁人民出版社，１９８５：４６９—４７８．

［２］刘玉琏．刘伟等．数学分析讲义练习题选解（第二版）

［Ｍ３。北京：高等教育出版社，２００５：４５５。

［３］

龚冬保．二重积分与二次积分［Ｊ］．高等数学研究，

２００２，１：１８—２１．

［４３同济大学应用数学系．高等数学（第五版）（下）［Ｍ］．北

京：高等教育出版社，２００２：１２１．

关于二重积分的一个计算公式

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晁增福， Chao Zengfu

塔里木大学信息工程学院,新疆,阿拉尔,843300塔里木大学学报

JOURNAL OF TARIM UNIVERSITY2009，21(1)0次

参考文献(4条)

1.申京浩.杨奎元 数学分析 1985