蒙那卡罗-随机数产生方法

第二章 蒙特卡罗方法基本原理

第二章 蒙特卡罗方法基本原理..............................................................................................9 2.1 蒙特卡罗方法概述.............................................................................................................9 2.1.1 方法简介......................................................................................................................9 2.1.2 积分的蒙特卡罗计算................................................................................................11 2.1.3 误差估计....................................................................................................................12 2.1.4 方法特点....................................................................................................................14 2.2 随机数产生.......................................................................................................................15 2.2.1 随机数与伪随机数....................................................................................................15 2.2.2 单精度随机数发生器................................................................................................17 2.2.3 组合随机数发生器....................................................................................................18 2.2.4 伪随机数的检验........................................................................................................18 2.3 随机变量的抽样...............................................................................................................21 2.3.1 直接抽样....................................................................................................................21 2.3.2 偏倚抽样....................................................................................................................28 2.4 随机抽样方法...................................................................................................................29 2.4.1 舍选抽样....................................................................................................................29 2.4.2 复合抽样....................................................................................................................33 2.4.3 分层抽样....................................................................................................................34 2.4.4 系统抽样....................................................................................................................36 2.4.5 等概率抽样................................................................................................................37 2.4.6 积分计算....................................................................................................................37 参考文献..................................................................................................................................38

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蒙特卡罗原理与粒子输运求解

第二章 蒙特卡罗方法基本原理

蒙特卡罗方法亦称随机模拟法或统计试验法。它是二十世纪四十年代，计算机诞生后，发展起来的一门新兴计算科学，它是在计算机上对中子行为进行随机模拟过程中发展起来的一种计算方法。早年在美国洛斯阿拉莫斯国家实验室（LANL），著名数学家尤拉母(S.Ulam)与冯牛曼(Von Neumann)就提出用计算机模拟中子链式反应过程，通过对大量中子行为观察分析，用统计平均的办法，推测出估计量之解。随后冯牛曼等人把他们研制的第一个随机模拟中子链式反应的程序取名为“Monte Carlo”，蒙特卡罗方法由此成为随机模拟法的代名词，稍后，Fermi结合质点扩散问题用同样的方法获得了某些偏微分方程的特征值。从此，这个方法引起了人们的关注。

2.1 蒙特卡罗方法概述

2.1.1 方法简介

随机模拟思想萌芽于十七世纪，蒲松投针法求圆周率π 就是这一思想的体现，以此为例，考虑圆周率π的计算。

例2-1 用随机方法求圆周率π。如图2-1，在单位正方形内，有一内切圆，将针均匀地投入正方形内，则针命中圆内的概率为

πM内切圆面积

P==～ (2-1)

N单位正方形面积4其中N为投针总数，M为命中圆内的针数。则

π≈4M/N (2-2)

显然N越大，π计算得越精确。

上述过程的计算机实现：均匀地投针到单位正方形内，

等价于在单位正方形内均匀选点(x,y)，亦即在x轴(0,1)区 间和y轴(0,1)区间内均匀选点x和y。这相当于在计算机 上用伪随机数发生器，在(0,1)上任意产生随机数ξ1和ξ2

(后面介绍)。针是否命中圆内，即判断不等式

(ξ1 1/2)2+(ξ2 1/2)2≤1/4 (2-3) 图2-1 投针问题

=是否成立。若不等式成立，则M+1 M。误差ε

π 的计算流程如图2-2。

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。在计算机上模拟

第二章 蒙特卡罗方法基本原理

图2-2 投针求π计算流程例2-2 考虑中子穿透平板问题。如图2-3所示，一束中子水平入射到x=0的平板上，试求中子穿透平板x=l的概率。

设穿透平板x=l的概率为p，建立随机模型：根据中子在介质I、II的实际碰撞规律，进行跟踪，假定中子在介质I、II中碰撞后或者发生散射或者被吸收，则从x=0出发的中子或者在介质I、II内经多次散射最终被

介质I，II吸收；或者最终穿过了平板l 介质I 介质II 真空 进入真空。引进随机变量η 1当中子穿过了平板；

η= (2-4) 0否则。

显然有 图2-3 中子穿透平板示意图

Eη=1 p+0 (1 p)=p (2-5)

跟踪N个中子，直到它们或被介质I、II吸收或穿过平板x=l为止，根据(2-4)式分别记录

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蒙特卡罗原理与粒子输运求解

最终结果为η,η

(1)(2)

,L,η(N)，以

1N(i)

=∑η (2-6) p

Ni=1

作为p的估计值。 例2-3

计算定积分A=

∫

∞

v2e v

2

/2

f(v)dv，其中f(v)为(0,∞)上的有界函数。

首先把A化为某随机变量的期望值。假定分子运动的速度v服从麦克斯韦尔(Maxwell)

ve

2 v2/2

(0<v<∞)，那么有

E[f(v)]=∫

v2e v

2

/2

f(v)dv=A (2-7)

从麦克斯韦尔分布产生N个值v1、v2、…、vN，用下列值作为积分A的近似值

=1A

N

∑f(v) (2-8)

i

i=1