11.1第十一讲：排列组合和概率论(审阅)

数学运算

第一讲:排列组合

第一节:排列组合基础知识和常考题型

一、合理分类与准确分步法(利用计数原理)

解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

【例题1】

12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（）

（A）CCC4

124844（B）3CCC4

124844（C）CCA4

124833（D）444C12C8C4 3A3

【苏索朱建国解析】

先从12名同学选4人到一个路口，有C12种不同的选法；再从其余8名同学选4人到另一

4个路口，有C8种不同的选法；最后一个路口由剩下的4名同学完成，由乘法原理可以知道，

44不同的分配方案共有C12种 C84C44

【练习1】

5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同的分发的种数为（）

（A） 480 （B）240 （C）120 （D）96

【苏索朱建国解析】

先把5本书中的任2本给其中的一个学生，它和其余的3本作为4份在分给四名学生，分法

24的种数共有C5A4=240种

【练习2】

有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译，4名日语翻译，另两名英、日语都精通，从中

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找8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，这两个小组能同时工作。问这样的分配名单共可开出几张？

【苏索朱建国解析】

从仅能翻译日语的人员入手，本题可以分成3种情况：

（1）仅能翻译日语的人员有2人参加，那么会双语2名翻译都要参加日语的翻译工作，共

24有C4C5种不同的分配方法。

（2）仅能翻译日语的人员有3人参加，那么会双语2名翻译有1人参加日语的翻译工作，

314共有C4C2C6种不同的分配方法。

44（3）仅能翻译日语的人员有4人参加，那么这时共有C4C7种不同的分配方法。由加法原

2431444理可知，不同的分配方法共有C4C5+C4C2C6+C4C7 30 120 35 185种

二、特殊元素与位置优待法

对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。

【例2】

从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（）

（A） 280种（B）240种（C）180种（D）96种

【苏索朱建国解析】

由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有种不同的选法，所以不同的选派方案共有 =240种，选B。

三、插空法、捆绑法

对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。

插板法就是在n 个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板，可以把n 个元素分成（b+1） 组的方法。

应用插板法必须满足三个条件：

（1）这n 个元素必须互不相异

（2）所分成的每一组至少分得一个元素

(3) 分成的组别彼此相异

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小梅有15 块糖，如果每天至少吃3 块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？

此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数进行分类 讨论

最多吃5 天，最少吃1 天

1：吃1 天或是5 天，各一种吃法一共2 种情况

2：吃2 天，每天预先吃2 块，即问11 块糖，每天至少吃1 块，吃2 天，几种情况？ c10 1=10

3：吃3 天，每天预先吃2 块，即问9 块糖，每天至少1 块，吃3 天? c8 2=28

4：吃4 天，每天预先吃2 块，即问7 块糖，每天至少1 块，吃4 天？c6 3=20

所以一共是2+10+28+20=60 种

在一张节目单中原有6 个节目，若保持这些节目相对次序不变，再添加3 个节目， 共有几种情况？

【例3】

7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？

【苏索朱建国解析】

先将其余四人排好有A =24种排法，再在这些人之间及两端的5个“空”中选三个位置让甲乙丙插入，则有C =10种方法，这样共有24×10=240种不同排法。

对于局部“小整体”的排列问题，可先将局部元素捆绑在一起看作一个元，与其余元素一同排列，然后在进行局部排列。

【例4】

计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（）

45345145245（A）A4A5（B）A3A4A5（C）A3A4A5（D）A2A4A5

【苏索朱建国解析】

先把三种不同的画捆在一起，各看成整体，但水彩画不放在两端，则整体有A2种不同的排

45法，然后对4幅油画和5幅国画内部进行全排，有A4A5种不同的排法，所以不同的陈列方

245式有A2A4A5种 2

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四、逆向思维排除法

对于含有否定字眼的问题，可以从总体中把不符合要求的除去，此时需注意不能多减，也不能少减。

【2006年黑龙江卷】

16.现有甲、乙两个水平相当的技术工人需进行三次技术比赛，规定三局两胜者为胜方，如果在第一次比赛中甲获胜，这时乙最终取胜的可能性有多大？( ) A.1111 B. C. D. 3426

【苏索朱建国解析】

【2006年浙江卷】

40、乒乓球比赛的规则是五局三胜制。甲、乙两球员的胜率分别是60%和40%，在一次比赛中，若甲先连胜了前两局，则甲最后获胜的概率：

A、为60% B、在81%—85%之间 C、在86%—90%之间D、在90%以上

【苏索朱建国解析】

五、顺序固定问题用“除法”( 对等法 )

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数。

【例6】

由数字1、2、3、4、5、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？

【苏索朱建国解析】

所有组成四位数的情况为：6×5×4×3＝360种，奇数为尾数为 1 3 5 的数字，所以占所有情况的一半，因此答案为180种。

【练习1】

A、B、C、D、E五人并排站成一排，若B必须站在A的右边（A、B可以不相邻），那么不同的站法种数共有（）

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（A） 40种（B）120种（C）60种（D）80种

【苏索朱建国解析】

55不考虑限制条件共有A5种不同的站法，在所有的A5种站法中，又要求“B必须站在A的

右边”，象“A、C、B、D、E”和“B、C、A、D、E”只有一种满足题意，所以不同的站法种数共有15A5 60种 2

六、构造模型“挡板法”

对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决问题。

【例7】

7个人带12瓶汽水参加春游，每人至少带一瓶汽水，有多少种不同的带法？

【苏索朱建国解析】

问题相当于用6块隔板“|”任意插入有12个小球“○”形成的11个缝隙中，而每一种分法就恰好反映了带汽水的一种情况，从而满足条件的带法共有C6

11种。

把10 个相同的小球放入3 个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情 …… 此处隐藏：8250字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……