空间向量在立体几何中的应用2010

空间向量法解立体几何问题

辽宁盖州市第一高级中学 李文军 QQ:270051388

一. 引入两个重要的空间向量

1.直线的方向向量

把直线上任意两点的向量或基线与它平行的向量都称为直线的方向向量.例如在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是

x1 x2,y1 y2,z1 z2 或 (x2 x1,y2 y1,z2 z1)

2.平面的法向量

如果向量n的基线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量.

在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢? 设a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a=0且n·b=0,则n⊥α。求平面的法向量的坐标的具体步骤：第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z). x1x y1y z1z 0第二步(列):根据n·a=0且n·b=0可列出方程组 x2x y2y z2z 0

第三步(解):把x,y,z其中一个变量看作常数,其余两个变量用它来表示。

第四步(取):对看作常数的变量取值(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标。 例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.

\练习：1.已知A（3，0，0），B(0,4,0),C(0,0,5),求平面ABC的单位法向量。 ．．2.已知ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90,SA垂直平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=与SCD的法向量。

1

,求平面SAD2

二. 立体几何问题的类型及解法

（一） 用向量证明平行（1）线线平行方法：设空间直线l1和l2的方向向量分别

1

为v1，v2，则l1∥l2(或l1与l2重合) v1∥v2

→→→→

（2）线面平行方法：①利用共面向量定理，如果两个向量a、b不共线，则向量c与向量a、→→→→

b共面的充要条件是存在实数对x,y，使c=xa+yb．②直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,且l α. 若a⊥n,即a·n = 0,则a∥α （3）平面与平面平行（面面平行）：①平面α的法向量为n1 ,平面β的法向量为n2，若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β②面面平行的判定定理的向量式

（二） 向量证明垂直⑴线线垂直方法 ：设空间直线l1和l2的方向向量分别为v1，

v2，则l1⊥l2 v1⊥v2

（2）线面垂直：①直线的方向向量与平面的法向量平行②直线的方向向量垂直与平面内两不共线的向量垂直 （3）面面垂直 ①平面α的法向量为n1 ,平面β的法向量为n2若n1⊥n2,即n1 ·n2= 0,则α⊥β②二面角角为直二面角③面面垂直的判定定理的向量式 例2：棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1, D,E分别是AC,CC1的中点,求证: (I)A1E ⊥平面DBC1; (II)AB1 ∥ 平面DBC1

例3：正方体ABCD- A1B1C1D中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证:面AED⊥面A1FD

练习：3、如图，已知直三棱柱ABC A1B1C1中， ACB 90, BAC 30,BC=1

，AA1，M是CC1的中点。求证：AB1

A1M

2

证明：说明上图中，上底面字母为A

，B1，C1。建立以C为坐标原点的空间直角坐标系以CA1为

Y

轴，CB为

X

轴，CC1

为

Z

轴，则A

M（0

AA（0

）（10 ，则，则0B10

AB 1AM （111

=0，命题得证。 AB1 AM1

4.如图，四棱锥P－ABCD中，ABCD为平行四边形，E∈PC，122

PE＝PC，F∈PB，PF＝PB，R∈PD，PR＝PD，

333

求证：PA∥面EFR

分析：利用基向量是向量法解题的另一常见手段，常用 于坐标系不容易建立的前提下，选取基底时一般遵循起点相 同的原则。

证：设PE＝ a ，PF＝ b ，PR＝ c ，则：

3 3

PC＝3 a ，PB＝ b ，PD＝ c ，EF＝ b － a ，ER＝ c － a

22

∵ABCD为平行四边形

∴PA＋PC＝PB＋PD

3 3

PA＝PB＋PD－PC＝ b ＋ c －3 a

22

3 3 3 3

EF＝（ b － a ）＋（ c － a ）＝＋

2222

ER

∴PA∥面EFG

（三）求空间中的角

利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的方

b向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了 设a、

a b| 分别是异面直线a , b的方向向量，则由向量内积可知：a与b的夹角 , cos ||a||b|

特殊情形： a b a b 0, 即异面直线a垂直于b。

例4：如图在正方体ABCD- A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值

3

A

为_____.

练习：5、在正方体ABCD–A1B1C1D1中,M,N分别为棱AA1和B1B的中点,若θ为直线CM与D1N所成的角,则sin =

( )

D1

1(A)

92(B)

3(C (D6、(2005年山东省高考理科20题的第一步)

已知长方体ABCD A,直线1BC11D1,AB 2,AA1 1

BD与平面AAB30 ，AE垂直BD于E，F为A1B1的中点.（Ⅰ）求异面直11B所成的角为

线AE与BF所成的角；（II）求平面BDF与平面AA1B所成的二面角；（III）求点

到平面BDF的距离.

(Ⅱ)直线与与平面所成的角

直线a与平面 所成的角为 ，a为直线a的一个方向向量，

， n是平面 的法向量（如图）

|a n|

易知：sin |cos a,n | |a||n|

特殊情形：当a n( R且 0)，则直线a与平面 垂直。

例5：如图,四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形， 侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=22， SA＝SB＝3.

(1)证明：SA⊥BC；

(2)求直线SD与平面SAB 所成角的大小.

解: (1)作AE BC于E点,则

AE BE AB cos ABE 2 cos45

又∵BC=22 ∴ BE

1

BC, 2

即E点是BC的中点. 又∵ SEA SB ∴ SEB SEA 90, 即SE是BC的中垂线. 又∵侧面SBC⊥底面ABCD ∴SE 面AC.

(2) 以E为原点,分别以向量EA,EB,ES的正方向为x轴、y轴、z轴的非负半轴,建立空间直

角坐标系,如图4所示. 容易求得SE=1,于是

),

),

),

0),S(0,0,1),E(0,0,0).

设平面SAB的法向量n (x,y,z),

∵

SA 1),

n SA -z 0

∴

令z

得n (1,1.

n SB -z 0

又∵SD 1)

设直线SD与平面SAB所成的角为 ,则

SD n sin

11SD n

∴

arcsin

. 11

练习： 7、如图,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，二面角P-BC-A等于45°。

（Ⅰ）求

PA

的值 AB

（Ⅱ）求PD与截面PAC所成的角大小

8、2005年广州综合测试二）如图，在三棱椎P-ABC中，PA 平面

BAC 90 ,D，E，F分别是棱AB、BC、CP的中点，AB=AC=1，PA=2，

5

（Ⅰ）求直线PA与平面DEF所成角的大小；

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