数列通项公式的求法(论文)

浅谈求数列通项公式的几种方法

数列的通项公式是数列的核心内容之一，它如同函数中的解析式一样,有了解析式便可研

究起性质等；而有了数列的通项公式便可求出任一项以及前 N项和等。因此，求数列的通项

公式往往是解题的突破口、关键点。作为一线教师，本人根据多年教学经验结合近年来的数列 考查动向，将求数列通项公式的方法做一总结,希望能对广大考生的复习有所帮助。下面我就

谈谈求数列通项公式的几种方法： 一、观察法

即归纳推理，一般用于解决选择、填空题。过程：观察→概括、推广→猜出一般性结论。 例 1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：

（1）9，99，999，9999，…（2） （3）

1 4 9 16 2 1 2

2 5 10 17 3 2 5

1 2 3 4 1 3 7 15 （4） , , , ,…（5） ， ， ， 。。。

2 3 4 5 2 4 8 16

n

解：（1）变形为：10 －1，10―1，10 ―1，10 ―1，…… ∴通项公式为：an 10 1

n 2 2 （2）a n ; （3）a ;

2

n 1 n 1

n

（4）a ( 1) . （5）a

n 1

n

n

n 1 2

点评：关键是找出各项与项数n的关系。

1

针对性训练：① 3 33 333 333 3333 … （a (10 1)）

3

2 2 10 17 26 n 1 ② 1 … （ ） n

3 7 9 11 2n 1

二、 定义法

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类 型的题目．

n n 1, 3, 9 5 5

a a a

2

求数列 的通项公式.

n

解：设数列 a 公差为 d(d>0)

n

1

a ∵ 1a 39 成等比数列， a 2

a 3

, ,

1 9

a a

点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求 得首项及公差公比。

针对性训练： 已知等比数列 an 的首项 a1 1，公比 0 q 1，设数列 bn 的通项为

n

n 1 n 2 n

，求数列 的通项公式。 [1]

解析：由题意， ，又 是等比数列，公比为q

n 1

n 2 n 3 n

∴ ，故数列 是等比数列， ，∴ n 1 2 3 1 1

b a a

bn an 1 an 2

n 1

bn q(q 1) q q (q 1)

n

三、公式法

S n 1 1 ，即已知数列前n项和，求通项。

Sn Sn 1 n 2

例 3：已知下列两数列 的前n项和s 的公式，求 的通项公式。

n

n

2 （1） Sn n n 1。 （2）sn n 1

3

解： （1） =1

1

1

3 2 an=Sn Sn 1=(n n 1) (n 1) (n 1) 1 =3n 3n 2

3

此时， 。∴ =3 2 为所求数列的通项公式。

1

1 n

（2）a1 s1 0，

2

2 当 n 2 时 an sn 1) [(n 1) 2 1] 2n 1 sn 1 (n

由于a1不适合于此等式 。

∴an

0

(n 1)

点评：要先分 n=1和n 2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。

21 (n 2) n

针对性训练：①已知数列{an}前 n项和Sn 满足：log2(Sn 1) n 1，求此数列的通项公式。

②已知数列{a }中, a 0且S (a ),求数列{a }的通项公式.[2]

1 n

2 an

①解：

n

n 1

当 时， 当n 2

1

n 1

n

时，an Sn Sn 1 2 2 2

n

3 n 1

所以：a n n

2 n 2

②解:由已知S (a )得 S (S S ),

1 n 1 n

2 an 2 Sn Sn 1

化简有S

2

n

2 2 2 Sn 1 n,由类型(1)有Sn S1 2 3 n,

2n(n 1) 又S a 得a 1,所以S ,又a 0,s ,

2 2

2

则a

2n(n 1) 2n(n 1)

2

此题也可以用数学归纳法来求解.

四、累加法

递推公式为 ，其中 f (1) f (2) ... f (n)的和比较易求 ，通常解法是把原

n 1

n

递推公式转化为an 1 an f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。

例 4. 若在数列 中， ， ，求通项 。

n

1 n 1 n n

解析：由 得 ，

n 1

n n 1 n

3

所以a n a n n 1， 1

a n a n 2 n 2 1

，

…，

a 2 a1 1 ，

将以上各式相加得： a n 又a1 3所以 an =

1

(n 1) (n 2) 1，

an(n 1)

3 2

1 1

针对性训练：已知数列 an 中 a1 ,an 1 an ，求 an 的通向公式

2 4n 1

解： 由已知得， ，

an 1 an 2

4n 1 2 1 2n 1 2n

令 n 1,2,..., n 1 ，代入 n 1 个等式累加，即

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