基于加窗DFT的相位差高精度测量算法_江亚群

第10卷 第2期 电路与系统学报 Vol.10 No.2 2005 年 4 月 JOURNAL OF CIRCUITS AND SYSTEMS April， 2005

文章编号：1007-0249 (2005) 02-0112-05

基于加窗DFT的相位差高精度测量算法*

江亚群， 何怡刚

（湖南大学 电气与信息工程学院，湖南 长沙 410082）

摘要：本文提出一种基于加窗离散傅立叶变换（DFT）的相位差微机高精度测量算法，详细论述算法原理及实现步骤。采用该算法，相位差测量值理论上与信号频率无关，从而不需要跟踪测量信号频率，不需要对信号整周期采样。算法实现简单，计算量较小，精度高，对高次谐波和噪声具有较强的抑制能力，仿真计算和工程应用验证了其可行性和有效性。

关键词：相位差；加窗离散傅立叶变换；余弦窗；测量；微机 中图分类号：TN911

文献标识码：A

1 引言

同频率周期信号的相位差测量在信号分析、电路参数测试、电工技术、工业自动化、智能控制、通信及电子技术等许多领域都有着广泛的应用，如交流电路中阻抗角的计算，电能计量中功率因数角的确定等。

在一些场合，相位差的测量要求有非常高的精度。如，精密微型互感器的两侧相位差通常在0.2°以下，对称负载下同步发电机三相输出电压之间的相位差应在120±0.6°的范围内，正常情况下电容型高压电气设备的介质损耗角小于1°。因此，在对互感器两侧相位差、电机三相电压相位差和电容设备介质损耗角进行测量时，为了保证测试的准确性，相位差测量误差要求不大于0.01°。

相位差的测量方法较多。传统的依靠模拟器件的方法，如矢量法、二极管签相法、脉冲计数法等，测量系统复杂，需要专用器件，硬件成本高。近年来，计算机和数字信号处理技术取得长足进步，相位差测量逐渐向数字化方向发展。数字化测量的优点在于硬件成本低、适应性强，对于不同的测量对象只需改变程序的算法，且精度一般优于模拟式测量。相位差数字化测量方法按实现途径可分为硬件法和软件法两大类[1]。硬件法通过硬件电路测量两个信号的周期及初相位的时间差，由软件将时间差变换为相位差显示，如矢量法、乘法器法及各种鉴相法。软件法对两个信号的瞬时值同时采样，由软件对采样数据进行分析处理，得到相位差的估计值，主要有过零点法、数字相关法、DFT法等[2~6]。当信号受谐波或噪声干扰时，过零点法的相位差测量误差较大；数字相关法有很好的噪声抑制能力，但该方法要求对周期信号实行严格整周期采样，且难以消除谐波干扰。DFT法一般认为也需要严格整周期采样，否则其精度受频谱泄漏和栅栏效应影响；此外，该方法也易受谐波干扰。

本文采用加广义余弦窗的DFT算法测量相位差。对于单频率信号，该算法不需要知道信号的准确频率，不需要整周期采样；当信号中含谐波时，算法通过加适当的余弦窗可基本消除谐波干扰；同时，该算法对噪声具有较强的抑制能力。仿真计算和工程应用都证明，该方法可实现相位差的高精度测量。

2 广义余弦窗

数字化测量相位差，必须先对信号有限化，把无限长的信号限定为有限长，这相当于在时域乘一个窗函数。时域相乘，则频域相当于参与相乘的两个信号各自频谱的周期卷积。因窗函数的频谱函数不是理想的冲激函数，因此卷积的结果，造成所得到的频谱与原频谱不同，会有失真。这种失真最主* 收稿日期：2004-08-20 修订日期：2004-10-13

；教育部高等学校博士学科点专项基金（20020532016）；湖南省电力科技攻关课题 基金项目：国家自然科学基金资助项目（50277010）

；

第2期 江亚群等：基于加窗DFT的相位差高精度测量算法 113

要的是造成频谱的“扩散”，即信号原来集中在小范围的能量，扩散到较大的频带内，同时出现许多旁瓣，这就是所谓的“频谱泄漏”现象，它会使测量出现误差。

泄漏误差主要来自两个方面，由信号负频分量引入的长范围泄漏和由窗的扇形损失引入的短范围泄漏[7]。提高DFT分析精度的关键就在于尽可能减小这两种误差，采用性能优良的窗函数可抑制泄漏。加窗的实质就是对被分析信号在不同时刻加不同的权值，以使信号截断的影响尽可能的小。窗的形状和宽度决定了窗函数的特征，对窗函数的要求是：主瓣宽度应尽可能小，旁瓣的衰减尽可能快。

对于周期信号的分析，本文采用广义余弦窗。周期信号除基波分量外，可能还含有整数次谐波分量，对于广义余弦窗，它具有这样的特点：只要选取观测时间是信号周期的整数倍，其频谱在基波和各整数次谐波频率处幅值为零，因而各频率信号分量之间不发生相互泄漏；即使信号频率作小范围波动，泄漏误差也较小。这一特点使得广义余弦窗可有效抑制谐波对相位差测量的影响。

H

2πnh[9]

广义余弦窗窗函数在时域一般可表示为：w(n)=∑ahcos （n=0,1,2"N 1） （1）

Nh=0H表示系数的项数。H=0，a0=1，就是矩形窗；H=1，a0=0.5，a1= 0.5，式中，ah表示组合窗的系数，

是Hanning窗；H=2，a0=0.42，a1=-0.5，a2=0.08，是Blackman窗；H=3，a0=0.35875，a1=-0.48829，

a2=0.14128，a3=-0.01168，是Blackman-Harris窗。当H和ah取其它值时，还可得到其它余弦窗。

较多项数的窗函数能够产生较大的旁瓣衰减，有利于提高DFT计算精度；但窗的项数越多，主瓣宽度也越大，会引起频谱分辨率降低，因此组合窗的项数一般不多于4项。

由式（1），容易推得广义余弦窗频谱表达式为：

N 1H

sin(Nω/2) j21 2πh 2πh jω

e （3） W(e)=∑ah WR ω +WR ω+ （2） 其中，WR(ω)=

2NNsin(ω/2) h=0 将式（3）代入式（2）并简化，得到：

Nω H H

sinω Nω j2 ahjω

W(e)=sin +j∑ah （4） e∑ h=02 h h 2 h=0

sinsin +

2N 2N

工程中常要求窗函数为偶对称函数，即窗函数要具有线性相位特性，则式（4）中应满足：

jω

∑ah=0

h=0

Nω2

H

(H≥1) （5）

jahsin(ω)

∑=W0(ω) e

h h h=0

2sin sin +

2N 2N H

Nω2

Nω j

这样，式（4）可简化为： W(e)=sin e

2

（6）

ahsin(ω) Nω H

其中，W0(ω)=sin 为实偶函数。 ∑

2 h=02sin h sin +h

2N2N

显然，上面提到的Hanning窗、Blackman窗和Blackman-Harris窗均满足式（5），它们的频谱可表示为式（6）形式。

3 相位差的加窗DFT算法

设欲测量相位差的两个周期信号分别为x1(t)和x2(t)。为简单起见，先不考虑信号中的谐波分量，即假设它们均为单频率周期信号，其频率为f0，幅值分别为A1、B1，初相位分别为α1、β1，并分别表示为： x1(t)=A1cos(2πf0t+α1) （7） x2(t)=B1cos(2πf0t+β1) （8） 则它们的相位差为θ=α1 β1。

首先考虑信号x1(t)初相位α1的求取。以采样频率fs（fs>2f0）将x1(t)离散化，得到离散单频率。 正弦信号：x1(n)=A1cos(ω0n+α1)，其中ω0=2πf0Ts（Ts=fs为采样周期）

114 电路与系统学报 第10卷

对x1(n)加长度为N的广义余弦窗w(n)，得有限长离散加窗序列x1w(n)：

x1w(n)=x1(n)w(n) 0≤n≤N 1 （9）

AA

信号x1(n)的频谱为[8]： X1(ejω)=1ejα1δ(ω ω0)+1e jα1δ(ω+ω0) （10）

22

所以离散加窗信号x1w(n)的频谱为：

Nω

jA1 jα1 A1jα1 jωjωjω

X1w(e)=X1(e)×W(e)= eδ(ω ω0)+eδ(ω+ω0) × W0(ω)e2

2 2 （11）

N N j ω ω0)+α1 j (ω+ω0) α1 A1A

=W0(ω ω0)e 2+1W0(ω+ω0)e 2

22

式（11）第三个等号之后的两项分别对应于窗函数的频谱W(ejω)沿频率轴右移ω0和左移ω0，由于离散窗函数的幅值谱特性类似于低通滤波器，截止频率约为窗谱主瓣宽度的一半，故当ω0大于此截止频率时，这两项之间的相互影响极小，当仅考虑0≤ω≤π时，认为：

j ω ω0)+α1 A

（12） X1w(ejω)=1W0(ω ω0)e 2

2

对x1w(n)进行DFT，得离散谱X1w(k)。X1w(k)实质上是连续谱X1w(ejω)在区间[0,2π]以等间隔

N

ω=2π/N抽样的结果，即： X1w(k)=X1w(ejω)|

ω=

2πkN

（k=0,1,2,...,N 1） （13）

如果时域为非整周期截断，即NTs不为信号周期T0（T0=1/f0）的整数倍，则：亦不为整数。不妨设：

ω02πf0TsNTs

==， 2/NT0

ω0

=k+λ （14） 其中，k为正整数， 0.5<λ≤0.5。 ω0最接近第k根谱线，用DFT计算第k根谱线的频谱，由式（12）、（13）、（14）知：

Nλ ω

j +α1 A1A 2πλ j(πλ+α1) 2

=1W0 X1w(k)=W0( λ ω)e （15） e

22 N

因此，用DFT求得的相位角为： θ1=α1+λπ （16）

B

对x2(t)加相同窗，并进行DFT，同理，可得： X2w(k)=1W0( 2πλ/N)ej(πλ+β1) （17）

2

对应的相位角为： θ2=β1+λπ （18）

式（16）减式（18）得相位差： θ=α1 β1=θ1 θ2 （19）

当λ≠0时，即采样为非整周期采样时，式（16）和式（18）求得的信号初相位角α1、β1具有误差，但误差大小相等，通过相减正好抵消，从而由式（19）求得的相位差理论上没有误差。这说明，本算法不要求对信号整周期采样，不需要求出信号频率。

对于序列x1(n)，加窗w(n)后，用DFT计算其基波（对应序号为k的谱线）实部X1Re和虚部X1Im为：

N 12N 12knπkn22π X1Re=∑x1(n)w(n)cos （20） X1Im=∑x1(n)w(n)sin （21）

N

n=0

N

N

n=0

N

对其相位角有：tgθ1= X2Re

2=N

N 1

X1Im

。对于序列x2(n)，同样有： X1Re

22knπ

∑x2(n)w(n)cosN （22） X2Im=Nn=0

∑x2(n)w(n)sin

n=0

N 1

2knπ

（23） N

对其相位角有：tgθ2=于是， tg(θ1 θ2)=

X2Im

。 X2Re

X1ImX2Re X1ReX2Im XX X1ReX2Imtgθ1 tgθ2

（24） =1Im2Re， θ=tg 1 XX +1+tg1tg2X1ReX2Re+X1ImX2ImXX1Im2Im 1Re2Re

上面讨论的是单频率信号。当信号中含有谐波时，如果选用的窗函数频谱能量集中于主瓣中，信号中基波与任意谐波分量频率之间的间隔远大于窗函数频谱主瓣的宽度，最低频率远大于主瓣宽度的

第2期 江亚群等：基于加窗DFT的相位差高精度测量算法 115

一半，则基波受谐波成分及其自身的负频率分量的影响极小，可以忽略不计。因此算法依然适应信号中含有谐波的情况。

至此，给出算法具体实现步骤：1）根据经验估计信号频率的上限值，由此确定采样频率和一次DFT运算的采样时间，然后对x1(t)和x2(t)同时进行采样，得采样序列x1(n)和x2(n)；2）对其中一序列（如x1(n)）进行FFT，求取信号全景谱，并通过峰值搜索确定信号基波所对应的谱线序号k；3）对x1(n)和x2(n)加相同的广义余弦窗，按公式（20）~（23）用DFT分别求取其第k谱线对应的频谱的实部和虚部；4）按公式（24）计算两信号的相位差。

4 算法仿真及工程应用

设基波频率f0=50Hz的两信号分别为： x1(t)=A1cos(2πf0t+α1)+∑Aicos(2πif0t+αi)+e1(t) （25） x2(t)=B1cos(2πf0t+β1)+∑Bicos(2πif0t+βi)+e2(t) （26）

i=2m

i=2m

式中两信号的基波及各次谐波参数如表1所示，其中最大谐波次数m=11。

仿真1：先不考虑信号中的噪声，即令式（25）（26）中e1(t)、e2(t)均为0，并且也不考虑A/D转换的量化效应。以采样频率fs=5000Hz采样。采样点数从1000~1200。当采样长度为1000、1100、1200点时，

i

1 210035°100-87°

1030°1570°

表1 两信号基波及谐波的幅值及相位角

3 4 5 6 7 8 9 1020060°4020°

0 12090°125°

120°-120°

20 50 30 10 20150°-50°

180° -150° -120°-80° 56° -12°

-60°2060°

11 30 -30°5 -100°

Ai

αi

Bi

50 25020 25 10 100

βi

其采样时间正好对应信号的10、11、12个周期，为整周期采样；其它情况为非整周期采样。分别加Hanning窗、Blackman窗和Blackman-Harris窗，按上述算法实现步骤进行仿真，相位差计算误差分别如图1(a)、(b)、(c)所示。可见，在整周期采样时，误差为0。这是因为整周期采样时，加广义余弦窗，

各次谐波频谱对基波无影响。非整周期采样，受谐波影响误差增大，这时加不同的余弦窗，对谐波的抑制效果不同。Blackman-Harris窗，具有最大的旁瓣衰减速度，抑制谐波能力最强，计算精度最高，相位差最大误差绝对值不大于0.00025°。

图1 加不同窗时相位差计算误差

仿真2：将式（25），（26）中信

号各次谐波幅值减小到原来的10%，加Blackman-Harris窗，计算结果如图

2

所示。可见信号中谐波含 量减小，计算精度提高，误差减小约1个数量级。

仿真3：考虑A/D量化误差。设采用14位A/D转换器，A/D转换器最小值及最大值分别对应信号值-400和+400，其它条件如仿真1，加Blackman-Harris窗，相位差计算结果如图3所示。可见，A/D量化误差对计算的影响大，使计算精度下降约1个数量级。

仿真4：在式（25），（26）中加入均值为0、

图2 谐波幅值减小后

的相位差误差

图3 考虑A/D量化误差

时的相位差误差

方差为1的高斯白噪声，其它条件同仿真1，再做仿真，结果如图4。受噪声影响，计算精度下降。

仿真5：条件同仿真4（信号中加噪声），再像仿真3一样考虑A/D量化误差再做仿真，结果如图5所示，计算精度在仿真4的基础上略有下降。

由仿真可见，考虑谐波、非整周期采样、A/D量化误差、噪声等多种因素影响后，相位差计算精

116 电路与系统学报 第10卷

度仍很高，最大误差绝对值不大于0.005°，满足工程要求。

仿真还表明，增加采样点数可以进一步减小误差（限于篇幅，在此不给出仿真结果）。

算法已应用于“便携式精密互感器智能检测仪”，用于测量精密互感器的角差（信号经过互感器后。检测仪由80C196单片机系统实现，采用12位A/D转换器，算法的相位偏移，正常值在0.2°以下）

实现时采样频率取50×128Hz，对互感器两侧信号均采样

2048点，加Blackman-Harris

窗。检测仪采用“软件较正”方法来消除检测仪两路信号前置通道（含检测仪本身的互感器、信号调理电路）的相位传输误差，即对检测仪两路信号输入端加入同一信号，测取这时的相位差，在实际测量时将这一相位差从测量值减去。该检测仪已通过了型式试验和鉴定，相位差测量精度达到要求，目前已投入生产。

5 结论

图4 含噪声信号的相

位差计算误差图5 考虑量化和噪声影

响的相位差误差

本文提出了一种测量同频率周期信号相位差的高精度微机算法。该算法的最大特点是，相位差测量值理论上与信号频率无关，不需要信号实行整周期采样，因而微机实现简单，计算量较小。

该算法的相位差测量精度主要受高次谐波、A/D量化误差、噪声、信号前置通道相位传输失真等因素的影响。通过采用加广义余弦窗，算法有效地抑制了谐波对基波相位差测量的影响；采用较高位数的A/D转换器、适当增加采样点数，可减小量化误差和噪声影响；通过“软件校正”，可有效消除信号前置通道的传输失真。仿真计算表明，考虑各种因素影响，本文算法的相位差测量误差仍在0.005°以下，满足工程对相位差高精度测量的要求。该算法已应用于工程实际，并取得预期效果。 参考文献：

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作者简介：，女，博士研究生，讲师，研究方向：电工理论与新技术、数字信号处理；何怡刚（1966-），江亚群（1971-）

男，博士，教授，博士导师，研究方向：电工理论与新技术、故障诊断等。

New algorithm for high-accuracy phase difference measurement

based on windowed DFT

JIANG Ya-qun, HE Yi-gang

( College of Electrical Engineering & Information Technology, Hunan University, Changsha 410082, China )

Abstract: Based on window DFT, a new algorithm, which is designed to measure the phase difference between two periodic signals with same frequency, presented; its principle and achievement method are also detailed. According to this algorithm, the phase difference is independent from the frequency of signals, so the frequency estimating and the synchronous sampling are not needed. The algorithm is of less computer work and high measuring accuracy, and is easy to be realized. Both the simulations and the engineering application prove its feasibility and effectiveness.

Key words: phase difference; windowed DFT; cosine window; measurement; microcomputer