专题03：三角函数

专题三：三角函数

【疑难点拔】 一、

概念不清

例1． 若 、 为第三象限角，且 ，则（ ）

（A）cos cos （B）cos cos （C）cos cos （D）以上都不对 错解 选（A）

分析：角的概念不清，误将象限角看成类似( ,可知（A）不对。用排除法，可知应选（D）。 二、

以偏概全

3 7 4

)区间角。如取 2 , ，263

例2． 已知sin m，求cos 的值及相应 的取值范围。

错解 当 是第一、四象限时，cos m2，当 是第二、三象限时，

cos m2。

分析：把 限制为象限角时，只考虑|m| 1且m 0的情形，遗漏了界限角。应补充：当|m| 1时， k 或cos 1。 三、

忽略隐含条件

2

(k Z),cos 0；当m 0时， k (k Z),cos 1，

例3． 若sinx cosx 1 0，求x的取值范围。

错解 移项得sinx cosx 1，两边平方得sin2x 0,那么2k 2x 2k (k Z) 即k x k

2

(k Z)

分析：忽略了满足不等式的x在第一象限，上述解法引进了sinx cosx 1。 正解： sinx cosx 1即2sin(x

4

) 1，由sin(x

4

)

2

得 2

2k

四、

4

x

4

2k

3

(k Z) ∴2k x 2k (k Z) 42

忽视角的范围，盲目地套用正弦、余弦的有界性

22

例4． 设 、 为锐角，且 + 120 ，讨论函数y cos cos 的最值。

错解 y 1

11

(cos2 cos2 ) 1 cos( )cos( ) 1 cos( ) 22

31

；当cos( ) 1时，ymin 。 22

1

cos( ) 1 2

可见，当cos( ) 1时，ymax

分析：由已知得30 , 90 ，∴ 60 60 ，则∴当cos( ) 1，即 60 时，ymin 五、

忽视应用均值不等式的条件

1

，最大值不存在。 2

a2b2

(a b 0,0 x )的最小值。 例5． 求函数y 22

2cosxsinx

a2b22ab4ab(2)(1)

4ab( 0 sin2x 1) 错解 y

sinxcosxsin2xcos2xsin2x

∴当sin2x 1时，ymin 4ab

分析：在已知条件下，（1）、（2）两处不能同时取等号。 正解：

y a2(1 tan2x) b2(1 cot2x) a2 b2 (a2tan2x b2cot2x) a b 2ab (a b)

2

2

2

当且仅当atanx bcotx，即tanx

b

，时，ymin (a b)2 a

专题四：三角函数

【经典题例】

例1：点P从（1，0）出发，沿单位圆x y 1逆时针方向运动Q点的坐标为（ ）

2

2

2

弧长到达Q点，则3

11131,) （B）( , ) （C）( , ) （D）( ,) 22222222

[思路分析] 记 POQ，由三角函数定义可知Q点的坐标(x,y)满足x rco s,y rsin ，故选（A）

（A）(

[简要评述]三角函数定义是三角函数理论的基础，理解掌握能起到事半功倍的效果。

sin4x cos4x sin2xcos2x例2：求函数f(x) 的最小正周期、最大值和最小值.

2 sin2x

1 sin2xcos2x111

[思路分析]f(x) (1 sinxcosx) sin2x

2(1 sinxcosx)242

所以函数f(x)的最小正周期是π，最大值是

31

，最小值是. 44

[简要评述]三角恒等变形是历年高考考察的主要内容，变形能力的提高取决于一定量的训练以及方法的积累，在此例中“降次、化同角”是基本的思路。此外，求函数的周期、最值是考察的热点，变形化简是必经之路。 例3：已知sin(

44

求2sin2 tan cot 1的值.

2 ) sin(

2 )

1 , (,)， 442

[思路分析] ∵ sin(

4

2 ) sin(

4

2 ) sin(

4

2 ) cos(

4

2 )

1 11 5

sin( 4 ) cos4 ,∴得 cos4 . 又 (,),所以 . 22224212

2

22

sin cos 2co2s 于是 2sin tan co t 1 co2s co2s sin co ssin2

5 5 35

(cos2 2cot2 ) (cos 2cot) ( 23) .

6622

[简要评述] 此类求值问题的类型是：已知三角方程，求某三角代数式的值。一般来说先解三角方程，得角的值或角的某个三角函数值。如何使解题过程化繁为简，变形仍然显得重要，此题中巧用诱导公式、二倍角公式，还用到了常用的变形方法，即“化正余切为正余弦”。

例4：已知b、c是实数，函数f(x)=x bx c对任意α、β R有：f(sin ) 0,

且f(2 cos ) 0,

（1）求f（1）的值；（2）证明：c 3；（3）设f(sin )的最大值为10，求f（x）。 [思路分析]（1）令α=

2

，得f(1) 0,令β= ，得f(1) 0,因此f(1) 0,； 2

（2）证明：由已知，当 1 x 1时，f(x) 0,当1 x 3时，f(x) 0,通

过数形结合的方法可得：f(3) 0,化简得c 3；

（3）由上述可知，[-1，1]是f(x)的减区间，那么f( 1) 10,又f(1) 0,联

立方程组可得b 5,c 4,所以f(x) x 5x 4

[简要评述]三角复合问题是综合运用知识的一个方面，复合函数问题的认识是高中数学学习的重点和难点，这一方面的学习有利于提高综合运用的能力。 例5：关于正弦曲线回答下述问题：

2

（1）函数y log12

3

x

4

)的单调递增区间是[8k

24

x 8k ]k Z； 33

对称，则a的值是；

（2）若函数y sin2x acos2x的图象关于直线x （3）把函数y sin(3x

8

个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到

48

原来的3倍（纵坐标不变），则所得的函数解析式子是y sin(x ) ；

8

（4）若函数y Asin( x ) B(A 0, 0,| | )的最大值是22，最小值是

2

2 2

，图象经过点（0，-），则函数的解析式子是 2，最小正周期是

34

32 2

； y sin(3x )

262

)的图象向右平移

[思路分析] 略

[简要评述]正弦曲线问题是三角函数性质、图象问题中的重点内容，必须熟练掌握。上述问题的解答可以根据正弦曲线的“五点画法”在草稿纸上作出函数的草图来验证答案或得到答案。 例6：函数f(x)

sin2x

1 sinx cosx

（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的最大值及对应的x值。 [思路分析] （1）{x|x 2k 且x 2k (2)设t=sinx+cosx, 则y=t-1 ymax

2

k Z}

2 1,x 2k

4

k Z

[简要评述]若f(x)关于sinx cosx与sinx cosx的表达式，求函数的最值常通过换元法，如令t sinx cosx，使问题得到简化。 例7：在ΔABC中，已知sinAcos

2

CA3

sinCcos2 sinB（1）求证：a、b、c成等222

差数列；（2）求角B的取值范围。

[思路分析]（1）条件等式降次化简得sinA sinC 2sinB a c 2b

a2 c2 (

（2） cosB

a c2)

3(a2 c2) 2ac6ac 2ac1 ,

2ac8ac8ac2

∴ ，得B的取值范围(0,

3

[简要评述]三角形中的变换问题，除了需要运用三角式变换的所有方法、技巧外，还经常需要考虑对条件或结论中的“边”与“角”运用“正弦定理、余弦定理或面积公式”进行互换。

例8：水渠横断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为h，梯形面积为S，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角α应该是多少？

A

S

hcot , h

S22 cos

cot ),转化为考虑y=C= h(

hsin sin

[

思

路

分

析

]

CD=

的最小值，可得当

C

3

时，y最小，即C最小。

[简要评述]“学以致用”是学习的目的之一，三角知识的应用很广泛，在复习过程中应受到重视。

【热身冲刺】 一、选择题：

1．若0 a 10，则满足sina =0.5的角a 的个数是（C）

（A）2 （B）3 （C） 4 （D）5 2．为了得到函数y sin(2x

（A）向右平移

6

的图象，可以将函数y cos2x的图象（B ）

（C）向左平移

个单位长度 （B）向右平移个单位长度 63

6

个单位长度 （D）向左平移

3

个单位长度

3．已知函数f(x) sinx,，则下面三个命题中：（1）f(1) f( 0；（2）

4

f(2) f(

3 3 ) 0；（3）f(3) f() 0；其中正确的命题共有（ B ） 44

（A） 0个 （B） 1个 （C）2个 （D）3个

4．若f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x) x2 sinx，则当x R时，f(x)为( C )

（A）x sinx （B）x sinx （C）|x|x sinx （D）|x|x sinx 5．函数f(x) 3cos(3x ) sin(3x )是奇函数，则 等于（ D）

（A）k （B） k

2

2

6

（C）k

3

（D）k

3

6．如果圆x2 y2 k2至少覆盖函数f(x) sin

x

k

的一个最大值点和一个最小值点，

则k的取值范围是（ B ）

（A）|k| 3 （B）|k| 2 （C）|k| 1 （D）1 |k| 2 7．若x∈[

5 2 , ]，则y＝tan(x ) tan(x ) cos(x ) 123366（B

）

的最大值是（ C ）

111112

（C

）（D

）665

212

8．．函数y sinx 2cosx在区间[ ,a]上的最小值为-，则a的取值为（ C ）

34

222224（A）[ , ) （B）[0， ] （C）[ , ] （D）( , ]

333333

1222

9．若△ABC面积S=(a b c)则∠C=（ C）

4

（A） （B） （C） （D）

2346

（A

）

10．已知向量 (2cos ,2sin ), ( （A）

125

2

, ), (0, 1),则a与b的夹角为（ A ）

3

（B） （C） （D） 222

1

，则f(4cos2 )2

二、填空题：

11．若f(x)是以5为周期的奇函数，f( 3)=4,且cos 12．函数y=lg(sinxcosx)的增区间是(k ,k 13．用[x]表示不超过实数x的最大整数。

4

]k Z

10 ] [sin20 ] [sin30 ] [sin2000 ]= -81 。 则[sin

33

14．设x cos sin ，且sin cos 0，则x的取值范围是(0,2] ；

三、解答题：

15．（文）求函数y

答案：(2k

2 2sinx lg(3tanx )的定义域。

6

,2k

4

] (2k

7 3

,2k )k Z 62

（理）二次函数f（x）的二次项系数是负数，对任何x R，都有f(x 3)）=f(1 x)，设M=f[arcsin(sin4)]，N=f[arcos(cos4)]，讨论M和N的大小。 答案： M>N

16．在锐角三角形ABC中，sin(A B)

31,sin(A B) . 55

（Ⅰ）求证tanA 2tanB； （Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高.

32

sinAcosB cosAsinB ,sinAcosB , tanA 55

2. 略解（Ⅰ）证明：

tanB sinAcosB cosAsinB 1. cosAsinB 1

55

所以tanA 2tanB.

33

所以tan(A B) , （Ⅱ）解： A B ，sin(A B) ,

254tanA tanB3

，将tanA 2tanB代入上式并整理后解得 即

1 tanAtanB4

2 6

tanB ，舍去负值，∴ tanA 2tanB 2 .

2

CDCD2CD

设AB边上的高为CD.由AB=AD+DB=得CD=2+6. tanAtanB2 6

17．已知y 2sin cos sin cos ，x sin cos ，其中0 .，

(1) 求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的最大值、最小值。

2

答案：y x x 1；ymax

5

;ymin 1; 4

18．在锐角ΔABC中，已知A<B<C,且B=60 ，又1 cos2A)(1 cos2C) 证：a 2b 2c

3 1

，求2

C 略证：由已知得cosAcos

11

,又cos(A C) ， 进一步可求出42

cos(C A)

，得A 45 ,B 60 ,C 75 ， 2

∴a 2b 2R(sin45 2sin60 ) 4R 19．（1）已知x (0,

6 2

4Rsin75 2c 4

2

)，证明不存在实数m (0,1)能使等式cosx+msinx=m(*)成立；

（2）试扩大x的取值范围，使对于实数m (0,1)，等式(*)能成立；

,求出使等式(*)成立的x值。 3

x

提示：（1）可化为m tan( ) 1（2）x ( ,)（3）x

24226

20．设函数f(x)= a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx，3sin2x)，x∈R.

(1)若f(x) 1 且x∈[－，]，求x；

33

（2）若函数y=2sin2x的图象按向量=(m，n)(|m|<)平移后得到函数y=f(x)的图

2

（3）在扩大后的x取值范围内，若取m 象，求实数m、n的值.

略解：（Ⅰ）依题设，f(x)=2cosx+3sin2x=1+2sin(2x+

2

). 6

，∵ x ∴x .

33462

（Ⅱ）函数y=2sin2x的图象按向量=(m，n)平移后得到函数y 2sin2(x m) n的图象，即函数y=f(x)的图象.

由（Ⅰ）得 f(x)=2sin2(x+)+1. ∵|m|<，∴m= ，n=1.

21212

由f(x) 1 3，得sin(2x

)