第三章第一节线性代数

代数

第三章 线性方程组 本章主要内容： 本章主要内容：一. 消元法 线性方程组解的存在性 二. n维向量及其线性相关性 维向量及其线性相关性 三. 向量组的秩 四. 线性方程组解的结构

代数

第一节 消元法

线性方程组解的存在性

本节重点： 本节重点：1、了解方程组零解，非零解，解向量，通解的概念 了解方程组零解，非零解，解向量， 2、熟练掌握线性方程组解的判断及其求法

一、消元法 引例 用消元法求解线性方程组1 2 3

1 2

2 x1 + 3 x2 + x3 = 5 x1 x2 x3 = 7 x + 2 x = 10 2 3

2 3 1 5 1 1 1 7 0 1 2 10

增 广 矩 阵

x1 x2 x3 = 7 1′ 2 x1 + 3 x2 + x3 = 5 2′ x + 2 x = 10 3′ 2 3

1 1 1 7 2 3 1 5 0 1 2 10

r1 r2

代数

x2 x3 = 9 x + 2 x = 10 3 ( 1)⑵ + ⑶ 2

2 1′+ 2′ x x x = 7 1 2 3

⑴ ⑵ ⑶

1 0 0

1 1 1

1 7 1 9 2 10

r2 + 2r1

' x1 x2 x3 = 7 (1) (2)' x2 x3 = 9 (3)' 1 ' 3 x3 = 1 (3)

1 1 1 7 0 1 1 9 0 0 3 1 1 1 1 7 0 1 1 9 0 0 1 1/ 3

3

x1 x2 x3 = 7 x2 x3 = 9 x = 1/ 3 3

1 r3 3

上述求解过程实际上相当于利用矩阵的初等 行变换化增广矩阵为行阶梯形矩阵的过程。 行变换化增广矩阵为行阶梯形矩阵的过程。

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二、基本概念 a11x1 + a12x2 +L+ a1n xn = b 1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 设 性 程 线 方 组 (1) L L L L L L L L L L L L am1x1 + am2x2 +L+ amn xn = bm 如 右 常 项 1, b2,Lbm不 为 ， 称 非 次 性 程 。 果 端 数 b 全 零 则 为 齐 线 方 组 a11x1 + a12x2 +L+ a1n xn = 0 a x + a x +L+ a x = 0 21 1 22 2 2n n (2) L L L L L L L L L L L L am1x1 + am2x2 +L+ amn xn = 0

称 为 次 性 程 之 齐 线 方 组

( 称 ( 的 次 性 程 或 出 。 2) 为 1) 齐 线 方 组 导 组4

代数

x1 = x2 =L= xn = 0总 (2)的 组 ， 为 的 解 平 解 是 一 解 称 (2) 零 或 凡 ；

如 存 一 不 为 的 是 2) 解 称 为 零 。 果 在 组 全 零 数 ( 的 ， 其 非 解 a11 L a1n x1 A 记 = M M 系 矩 ， = M 数 阵 x x a L a n mn m1 b 1 b = M b m

Ax = b 则 面 程 (1)、 有 阵 式 上 方 组 (2) 矩 形 Ax = 0

( 3)

( 4)

x1 (3)或 的 组 构 的 量 = M 称 (3)或 的 (4) 某 解 成 向 x (4) 为 x n 解向量，简称为解。5

代数

记 B = ( A b) ---增广矩阵

行阶梯形矩 阵

( A b) = B 有限次的初等行变换 B = (A b ) 1 1 1R(B) = R(B ) 1 c11 c12 不

妨设： 不妨设： 0 c22 M 0 0 B1 = 0 0 0 0 M 0 0

R( A) = R( A ) = r 1即 r ≤ R(B) = R(B ) ≤ r +1 1d1 d2 M dr dr+1 0 M 0 L c1r L c1n L c2r L c2n O M M L crr L crn L 0 L 0 M L 0 L L L 0 0 M 0

R(A) ≤ R(B) = R(B ) ≤ R( A) + 1 1

中 c 其 ： ii ≠ 0 i = 1,L, r

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(1)若 dr+1 ≠ 0, 0xn = dr+1 ∴方 组 解 c11 c12 L c1r L c1n : 程 无 R 即： (B) > R( A) 方程组无解 0 M 0 0 0 M 0

(2)若 dr+1 = 0 :

R 则 (B) = R( A)

c22 L c2r L c2n O M M 0 L crr L crn 0 0 0 L 0 L 0 M L 0 L L L 0 0 M 0

i)如 R(B) = R(A) = n 果方程组有唯一解

ii)如 R(B) = R(A) = r < n 果

d1 d2 M dr dr+1 0 M 0

c11x1 + c12 x2 +L+ c1r xr +L+ c1n xn = d1 c22 x2 +L+ c2r xr +L+ c2n xn = d2 L L L cr r xr +L+ cr n xn = dr c11x1 + c12 x2 +L+ c1r xr = d1 c1r+1 xr+1 L c1n xn c22 x2 +L+ c2r xr = d2 c2r+1 xr+1 L c2n xn L L L crr xr = dr cr r+1 xr+1 L cr n xn

x1,L, xr非自由未知量

xr+1,L, xn自由未知量7

代数

R 如果 (B) = R( A) = r

c11x1 + c12 x2 +L+ c1r xr +L+ c1n xn = d1 c22 x2 +L+ c2r xr +L+ c2n xn = d2 L L L cr r xr +L+ cr n xn = dr

非自由 未知量

自由 未知量

x1,L, xr

xr+1,L, xn

c11x1 + c12 x2 +L+ c1r xr = d1 c1r+1 xr+1 L c1n xn c22 x2 +L+ c2r xr = d2 c2r+1 xr+1 L c2n xn L L L crr xr = dr cr r+1 xr+1 L cr n xn x1 = * M xr = * 则 xr+1 = c1 M xn = cn r

一般解

: 令 xr+1 = c1,L, xn = cn r ,

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二、线性方程组解的存在性定理 1、 理 定 ：对 齐 线 方 组 m×n x = b 记 广 阵 非 次 性 程 A ,增 矩 为B=(A b),则

(1)Ax = b无 解 R(B) > R(A)(2)Ax = b有 一 R(A) = R(B) = n 唯 解

(3)Ax = b有 穷 解 R(A) = R(B) < n 无 多

, 推 1 对 齐 线 方 组 m×n x = 0 有 论： 于 次 性 程 A(1)Ax = 0只 零 有 解 R(A)= n

(2)Ax = 0有 零 R(A) < n 非 解

, 次 性 程 A 非 解 推 2 当 < n时 齐 线 方 组 m×n x = 0有 零 。 论： m(m < n R( A) ≤ min{m, n} = m < n 有非零解)9

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2、求解线性方程组的步骤： 求解线性方程组的步骤： 写出系数矩阵或增广矩阵， 1)写出系数矩阵或增广矩阵，对其施行初等行变换 将其化为行最简形，得到同解方程组； 将其化为行最简形，得到同解方程组； 根据行最简形的三种形式判断方程组的解； 2)根据行最简形的三种形式判断方程组的解； 则方程组有无穷多解， 3)若 R(A) = R(B) = r < n,则方程组有无穷多解， 个非零行的非零首元所对应的未知量 把行最简形中 r 个非零行的非零首元所对应的未知量 个未知数取作自由未知 取作非自由未知量，其余 n r , 并令自由未知量 量，并令自由未知量分别等于c1, c2 ,L cn r,

由行最 简形，即可写出通解. 简形，即可写出通解.

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3、例题分析 例1 求解齐次线性方程组

x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 0, 2x1 + x2 2x3 2x4 = 0, x x 4x 3x = 0. 3 4 1 2这是一个齐次线性方程组， 解 这是一个齐次线性方程组，只需对系数矩阵 A 施行初等行变换化为行最简形： 施行初等行变换化为行最简形：

1 A= 2 1

2 2 1 2 1 4

1 r 2r 1 2 2 r3 r1 3

1 2 2 1 0 3 6 4 0 3 6 4 11

代数

1 2 2 1 r r 3 2 0 3 6 4 r ( 1 ) 3 0 3 6 4 r2 2r 2 1

1 4 1 6 4 0 3 2 3 0 0 0 0

5 0 2 13 2 2

5 x1 2x3 3 x4 = 0 同 方 组 解 程 x + 2x + 4 x = 0 3 4 2 3

5 x1 = 2x3 + 3 x4 即 x = 2x 4 x 3 2 3 4

x c x ∴x3、 4为自由未知量 令 3= 1, x4 = c2

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