§8-4 用叠加法求挠度和转角

§8-4 用叠加法求挠度和转角

叠加原理

梁的变形很小,且在线弹性范围内, 梁在几个荷载(可以是集中力,集 中力偶或分布力)同时作用下产生的挠度和转角, 分别等于在单独载荷作用下挠度和转角的叠加。

§8-4 用叠加法求挠度和转角

叠加法计算位移的条件：

1、梁在荷载作用下产生的变形是微小的； 2、材料在线弹性范围内工作，梁的位移与荷载呈线性关系； 3、梁上每个荷载引起的位移，不受其他荷载的影响。

d y dx

2

2

M (x) EI

线性微分方程

§8-4 用叠加法求挠度和转角

梁上有分布载荷，集中力与集中力偶。

M

e

q

B

A

弯矩：

M M

F

x

e

Fx

qx 2

2

l

M

e

q

M

弯矩的叠加原理---梁在几个载荷共同作用下的弯 矩值，等于各载荷单独作用下的弯 矩的代数和。

M M M M

A

F

x

Fs

1

2

3

EI y 1 M EI y 2 M EI y 3 M

1

(x) (x) (x)

EI y i M

i

(x)

2

3

§8-4 用叠加法求挠度和转角

EI y M ( x )

y y 1 y 2 y 3 M (x) M

1

M

2

M

3

一、前提条件：弹性、小变形。 二、叠加原理：各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各荷 载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。

B ( F1 , F 2 , , F n ) B 1 ( F1 ) B 2 ( F 2 ) Bn ( F n )

y B ( F1 , F 2 , , F n ) y B 1 ( F1 ) y B 2 ( F 2 ) y Bn ( F n )

三、叠加法的特征：

1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；

2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。

§8-4 用叠加法求挠度和转角

§8-4 用叠加法求挠度和转角

解：集中力 F在B端产生的挠度和转角

y BF

Fl

3

3 EI

BF

Fl

2

2 EI

§8-4 用叠加法求挠度和转角

均布载荷q在B端产生的挠度和转角

y Bq

ql

4

8 EI

ql

3

Bq

6 EI

§8-4 用叠加法求挠度和转角

B端挠度和转角

y B y BF y Bq

Fl

3

ql

4

3 EI

2

8 EI

3

B BF Bq

Fl

ql

2 EI

6 EI

§8-4 用叠加法求挠度和转角

F q

A

C a a B

按叠加原理求A点转角和C点挠度.

解:（a）载荷分解如图 （b）由梁的简单载荷变形表,

F

A

=

B

查简单载荷引起的变形.

( A ) F Fa

2

q

A B

4 EI

qa

3

( yc ) F

Fa

3

+

6 EI

4

( A )q

( yc ) q

5qa

3 EI

24 EI

§8-4 用叠加法求挠度和转角

F q

A

C a a B

( A ) F

Fa

2

4 EI

qa

3

( yc ) F

Fa

3

6 EI

4

( A )q

( yc ) q

5qa

F

A

3 EI

24 EI

=

B

（c）叠加

A ( A )F ( A )q

a

2

(3 F 4qa )

+

q

A B

12 EI

yc ( yc ) F ( yc ) q

( 5qa