[广东]2009年中考数学压轴题精选精析(5)

y x 5

x 1 x 4

由 得或 125

y x x 3 y 6 y 1 22

又点D(41)，， Q( 1，．6)

故该抛物线上存在两点Q(0，、······························································ 12分 3)( 1，6)满足条件．

第28题图

说明：以上各题如有其他解（证）法，请酌情给分．

19．（09年广东肇庆）25．（本小题满分 10 分） 如图 9，交AM于D， ⊙O的直径AB 2，AM 和BN是它的两条切线，DE切⊙O于E，交BN 于C．设AD x，BC y． （1）求证：AM∥BN； （2）求y关于x的关系式；

（3）求四边形ABCD的面积S，并证明：S≥2．

图9

（09年广东肇庆25题解析）（1）证明：∵AB是直径，AM、BN是切线， ∴AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN． ·················· （2 分）

解：（2）过点D作 DF⊥BC于F，则AB∥DF． 由（1）AM∥BN，∴四边形ABFD为矩形. ∴DF AB 2，BF AD x． ·································· （3 分） ∵DE、DA，CE、CB都是切线，

∴根据切线长定理，得

····································· （4 分） DE DA x，CE CB y． ·

图9

在Rt△DFC中，DF 2，DC DE CE x y，CF BC BF y x， ∴(x y) 2 (y x)， ·················································································· （5 分）化简，得y

2

2

2

1

······························································································ （6分） (x 0)． ·

x

111

AB(AD BC) 2 x ， 22x

（3）由（1）、（2）得，四边形的面积S

即S x

1

···································································································· （8分）

(x 0)．

x

2

1 1

≥0，当且仅当x 1时，等号成立． ∵ x 2 x 2 x x

∴x

1

························································································· （10分） ≥2，即S≥2． ·A

x

D

20.（09年广东）22. 正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直， （1）证明：Rt△ABM ∽Rt△MCN；

（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积； （3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM ∽Rt△AMN， 求此时x的值.

（09年广东22题解析）（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∠ABM+∠BAM=90°

∵∠ABM+∠CMN+∠AMN=180°，∠AMN=90°∴∠AMB+∠CMN=90°∴∠BAM=∠CMN ∴Rt△ABM∽Rt△MCN

（2）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，∴

AB BM4xx(4 x)

即解得：CN =，

MCCN4-xCN4

∵S梯形=

11x(4 x)

4 4, CN+AB BC ∴y= 2 42

1

x 2x 8 21112

又∵y x 2x 8=- x2 4x 4 4 8 x 2 10

222

即：y

∴当x=2时，y有最大值10.

∴当M点运动到BC的中点时，四边形ABCN的面积最大，最大面积是10. （3）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，∴

ABBM

AMMN化简得：x2 16

x 2 0，解得：x=2

∴当M点运动到BC的中点时Rt△ABM ∽Rt△AMN，此时x的值为2.