[广东]2009年中考数学压轴题精选精析

2009年全国中考数学压轴题精选精析（四）

11.（09年广东佛山）25．一般地，学习几何要从作图开始，再观察图形，根据图形的某一类共同特征对图形进行分类（即给一类图形下定义——定义概念便于归类、交流与表达），然后继续研究图形的其它特征、判定方法以及图形的组合、图形之间的关系、图形的计算等问题. 课本里对四边形的研究即遵循着上面的思路．

当然，在学习几何的不同阶段，可能研究的是几何的部分问题．比如有下面的问题，请你研究．

已知：四边形ABCD中，AB DC，且 ACB DBC． （1）借助网格画出四边形ABCD所有可能的形状；

（2）简要说明在什么情况下四边形ABCD具有所画的形状．

（09年广东佛山25题解析）（1）四边形可能的形状有三类：图①“矩形”、图②“等腰梯形”、图③的“四边形ABCD1”．

注1：画出“矩形”或“等腰梯形”，各给1分；画出另一类图形（后两种可以看作一类），给2分；

等腰梯形不单独画而在后两种图中反映的，不扣分；画图顺序不同但答案正确不扣分．

注2：如果在类似图③或图④的图中画出凹四边形，同样给分（两种都画，只给一种的分）． (2) （i）若 BAC是直角（图②），则四边形为等腰梯形； ·········································· 6分 （ii）若 BAC是锐角（图③），存在两个点D和D1，得到等腰梯形ABCD和符合条件

但不是梯形的四边形ABCD1； ······························································································ 8分 其中，若 BAC是直角（图①），则四边形为矩形． ····················································· 9分 （iii）若 BAC是钝角（图④），存在两个点D和D1，得到等腰梯形ABCD和符合条件但不是梯形的四边形ABCD1； ·························································································· 11分 注：可用AC与BD或者 BAC与 CDB是否相等分类；只画矩形和等腰梯形并进行说明可给4分．

12.（09年广东广州）25．（本小题满分14分） 如图13，二次函数y x px q（p 0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点

2

5C(0， 1)，△ABC的面积为．

4

（1）求该二次函数的关系式；

（2）过y轴上的一点M(0，m)作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；

（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ACBD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

0)，B(x2，0)，其中x1 x2． （09年广东广州25题解析）解：（1）设点A(x1，

∵抛物线y x px q过点C(0， 1)， ∴ 1 0 P 0 q． ∴q 1． ∴y x px 1．

∵抛物线y x px q与x轴交于A、B两点，

2

22

2

∴x1，x2是方程x px 1 0的两个实根． 求p的值给出以下两种方法：

方法1：由韦达定理得：x1 x2 p，x1x2 1．

2

5， 4

1515∴OC AB ，即 1 (x2 x1) ． 2424

5

∴x2 x1 ．

225

∴(x2 x1)2 ．

4

∵△ABC的面积为

∵(x2 x1) (x2 x1) 4x1x2， ∴(x2 x1) 4x1x2 ∴( p) 4 解得p

2

22

2

25． 4

25． 4

3． 2

∵p 0， ∴p

3． 2

2

∴所求二次函数的关系式为y x

3

x 1． 2

方法2

：由求根公式得x1

，x2 ．

AB x2 x1

5， 4

1515∴OC AB ，即 1 (x2 x1) ．

242415∴ 1 ． 24

252

∴p 4 ．

43

解得p ．

2

∵△ABC的面积为∵p 0，

∴p

3． 2

3

x 1． 2

31

（2）令x2 x 1 0，解得x1 ，x2 2．

22

∴所求二次函数的关系式为y x2 ∴A ，0 ，B(2，0)．

1

2

5 1 2222

在Rt△AOC中，AC AO OC 1 ，

4 2

在Rt△BOC中，BC BO OC 2 1 5， ∵AB 2

2

2

2

2

2

2

2

2

1 5

， 2 2

∴AC BC

525 5 AB2． 44

∴ ACB 90°．

∴△ABC是直角三角形．

∴Rt△ABC的外接圆的圆心是斜边AB的中点． ∴Rt△ABC的外接圆的半径r

AB5

． 24

∵垂线与△ABC的外接圆有公共点， ∴

55≤m≤． 44

2

（3）假设在二次函数y x

3

x 1的图象上存在点D，使得四边形ACBD是直角梯形．

2

2

①若AD∥BC，设点D的坐标为 x0，x0

3

x0 1 ，x0 0， 2

过D作DE⊥x轴，垂足为E，如图1所示．

求点D的坐标给出以下两种方法： 方法1：在Rt△AED中，

32

x0 x0 1DE， tan DAE AE 1

x0

2

OC1

在Rt△BOC中，tan CBO ，

OB2

∵ DAE CBO，

∴tan DAE tan CBO．

32

x0 x0 1

1∴ ．

1 2x0

2

24x0 8x0 5 0．

解得x0

51

或x0 ． 22

∵x0 0， ∴x0

2

5 53 ，此时点D的坐标为 ． 2 22

2

2

而AD AE ED

453

BC2，因此当AD∥BC时在抛物线y x2 x 1上存在42

点D ，使得四边形DACB是直角梯形．

方法2：在Rt△AED与Rt△BOC中， DAE CBO，

∴Rt△AED∽Rt△BOC． ∴

53 22

DEOC

．

AEOB

32

x0 x0 1

1∴ ．

1 2x0

2