《概率论与数理统计》课程练习计算题(8)

解：设x1，x2，?，xn为X1，X2，?，Xn观测值，则构造似然函数 L(?)?(??1)(?xi)?

ni?1n lnL?nln(??1)???lnxi

i?1n令

ndlnLn ???lnxi?0

d???1i?1解得?的极大似然估计量为

???1??n?lnXi?1n

i 2．设总体X的分布列为

X 1 0

pk p 1?p

X1，X2，?，Xn为X的一个样本，求p的极大似然估计。

解：设x1，x2，?，xn为X1，X2，?，Xn观测值，X的分布律为

p(x,p)?px(1?p)1?x （x?1，0）

于是似然函数 L(p)??p(x,p)??pii?1i?1nnxi(1?p)1?xi

?pi?1(1?p)ni?1?xinn??xii?1n

lnL?lnp?xi?(n??xi)ln(1?p)

i?1ndlnL?

dp?xii?1np?n??xii?1n1?p

1ndlnL?0，解得p??xi?X，因此p的极大似然估计为 令

ni?1dp1n???xi?X pni?13．设X1，X2，?，Xn为总体X的一个样本，且X的概率分布为

P{X?k}?(1?p)k?1p,k?1,2,3,?。x1，x2，?，xn为来自总体X的一个样本观察值，

求p的极大似然估计值。 解：构造似然函数

L（p)??p(xi,p)??p(1?p)i?1i?1nnxi?1

?p(1?p)i?1nn?xi?n

nlnL?nlnp?(?xi?n)ln(1?p)

i?1?x?ndlnLni?1i?? dpp1?pndlnL?0，解得p?n/?xi，因此p的极大似然估计值为 令

dpi?1n??n/?xi。 pi?1n4．设X1，X2，?，Xn为总体X的一个样本，且X服从参数为m,p的二项分布，求

p的极大似然估计量。

解：设x1，x2，?，xn为X1，X2，?，Xn观测值，则构造似然函数 L（p)??p(xi,p)??Cmipi(1?p)i?1i?1nnxxm?xi

??i?1nxiCm?p?xii?1n?(1?p)nm??xii?1n

lnL??xilnCm?lnp?xi?(nm??xi)ln(1?p)

i?1i?1nndlnL ?dp?xii?1nnm??xi?i?1np1?p

1ndlnL令?0，解得p??xi/m，

dpni?1因此p的极大似然估计量为

??X/m p5．设X1，X2，?，Xn为来自总体X的样本，X为样本均值，试问

1nQ??(Xi?X)2是否为总体方差DX的无偏估计量？为什么？

ni?11n2解：Q??(Xi?X)不是总体方差DX的无偏估计量。

ni?1设EX??，DX??，因为

21n1n EX?E(?Xi)??EXi?u

ni?1ni?11n1 DX?D(?Xi)?2ni?1n?DXii?1n??2n

21n1n22 EQ?E[?(Xi?X)] =E[?(Xi?2XXi?X)]

ni?1ni?1n212 =E(?Xi?nX)

ni?11n22 =[?(DXi?(EXi))?n(DX?(EX))]

ni?1n?121n?222??DX =[?(??u)?n(?u2)] ?nni?1n6．设X1，X2，X3为来自总体X~N(?,?2) 的一个样本，且EX??存在，验证统

计量(1)、(2)都是?的无偏估计，并指出哪一个较好。

?1? （1）?131111?2?X1?X2?X3。 X1?X2?X3； （2）?5102362 解：（1）由于

?1?E(X1? E??1?所以?1531X2?X3)?? 102131X1?X2?X3是?的无偏估计； 51021311X2?X3)?? 62?2?E(X1? （2） E??2?所以?111X1?X2?X3是?的无偏估计。 362153119X2?X3)??2 10250117X2?X3)??2 6218?1?D(X1?而 D?13?2?D(X1? D?显然

19272131?1?X1?X2?X3较好。 ???，故?501851027．设X?a(X1?2X2)2?b(3X3?4X4)2，其中X1，X2，X3，X4是来自总体

N(0，22)的简单随机样本。试问当a、b各为何值时，统计量X服从?2分布，并指出其自由

度。

解：依题意，要使统计量X服从?2分布，则必需使a1/2(X1?2X2)及b1/2(3X3?4X4)服从标准正态分布。 由相互独立的正态随机变量的性质知

a1/2(X1?2X2)~N(0，(4a?16a)) 从而解得a?1/20。 b1/2(3X3?4X4)~N(0,(36b?64b)) 从而解得b?1/100。

故a?1/20，b?1/100时，统计量X服从?2分布。且自由度为2。

8．某车间生产滚珠，从长期实践中知，滚珠直径X可以认为服从正态分布，其方差为0.05，从某天的产品中随机抽取6个，量得直径（mm）如下：14.70, 15.21, 14.90, 14.91, 15.32, 15.32。试求??EX的置信度为0.95的置信区间。 解：依题意取样本函数 U?X???2~N（0，1）

n对于给定的?=0.05，由

P{U??}?1??/2?1?20.05?0975. 216求得?=1.96，又n?6，??0.05，X??xi?1506.

6i?1于是得?的置信度为0.95的置信区间是1506.?018.，1506.?018.)?(14.08，1524.）