《概率论与数理统计》课程练习计算题

三、解答题

1．设对于事件A、B、C有P(A)?P(B)?P(C)?1/4，P(AB)?P(BC)?0，

P(AC)?1/8，求A、B、C至少出现一个的概率。

解：由于ABC?AB，从而由性质4知，P(ABC)?P(AB)?0，又由概率定义知

P(ABC)?0，所以P(ABC)?0 ，从而由概率的加法公式得

P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)

?115?3?? 4882．设有10件产品，其中有3件次品,从中任意抽取5件，问其中恰有2件次品的概率是多少？

5 解：设A表示：“任意抽取的5件中恰有2件次品”。则n(?)?C10。5件产品中恰有2件2323C7种，即n(A)?C3C7。于是所求概率为 次品的取法共有C3235C7 /C10P(A)?n(A)/n(?)?C3?35/84

3．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回）。求： （1）第二次取出的是次品的概率； （2）两次都取到正品的概率；

（3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率。 解：设Ai表示：“第i次取出的是正品”（i=1，2），则 （1）第二次取到次品的概率为 P(A1A2?A1A2)?102221???? 121212126101025?? 121236 （2）两次都取到正品的概率为

P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)? （3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为 P(A1A2)?1025?? 1212364．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。求：

（1）至少取到一个正品的概率； （2）第二次取到次品的概率； （3）恰有一次取到次品的概率。

解：设Ai表示：“第i次取出的是正品”（i=1，2），则 （1）至少取到一个正品的概率

1?P(A1A2)?1?P(A1)P(A2|A1)?1? （2）第二次取到次品的概率为

2165?? 121166 P(A1A2?A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1) ?102211???? 121112116 （3）恰有一次取到次品的概率为

P(A1A2?A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1) ?10221010???? 1211121133 5．一批产品共有10件正品2件次品，从中任取两件，求：

（1）两件都是正品的概率； （2）恰有一件次品的概率；

（3）至少取到一件次品的概率。

解：设A表示：“取出的两件都是正品是正品”；B表示：“取出的两件恰有一件次品”；

C表示：“取出的两件至少取到一件次品”；则

（1）两件都是正品的概率 P(A)?2C102C12?15 22 （2）恰有一件次品的概率 P(B)?11C10C22C12?10 33 （3）至少取到一件次品的概率 P(C)?1?P(A)?1?2C102C12?1?157? 22226．一工人照看三台机床，在一小时内，甲机床需要照看的概率是0.6，乙机床和丙机床需

要照看的概率分别是0.5和0.8。求在一小时中，

（1）没有一台机床需要照看的概率； （2）至少有一台机床不需要照看的概率。

解：设A表示：“没有一台机床需要照看”；B表示：“至少有一台机床不需要照看“；Ci表示：“第i台机床需要照看”（i=1，2，3）。则A?C1C2C3；B?C1?C2?C3。 P(A)?P(C1C2C3)?P(C1)P(C2)P(C3) ?(1?P(C1))(1?P(C2))(1?P(C3))?0.04

P(B)?P(C1?C2?C3)?P(C1C2C3)?1?P(C1C2C3) ?1?P(C1)P(C2)P(C3)?0.76

7．在某城市中发行三种报纸A、B、C，经调查，订阅A报的有50%，订阅B报的有30%，订阅C报的有20%，同时订阅A及B报的有10%，同时订阅A及C报的有8%，同时订阅B及C报的有5%，同时订阅A、B、C报的有3%，试求下列事件的概率： （1）只订阅A及B报；（2）恰好订阅两种报纸。 解：（1）P(ABC)?P(AB?C)?P(AB?ABC)

?P(AB)?P(ABC)?0.1?0.03?0.07 （2）P(ABC?ABC?ABC)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)) ?0.07?0.02?0.05?0.14

8．一盒子中黑球、红球、白球各占50%、30%、20%，从中任取一球，结果不是红球，求：（1）取到的是白球的概率；

（2）取到的是黑球的概率。

解：设Ai分别表示：“取到的是黑球、红球、白球”（i=1，2，3），则问题（1）化为求

P(A3|A2)；问题（2）化为求P(A1|A2)。由题意A1、A2、A3两两互不相容，所以，

（1）P(A3A2)?P(A3?A2)?P(A3)。因此由条件概率公式得 P(A3|A2)?P(A3A2)P(A3)0.22?? ?P(A2)1?0.37P(A2)（2）P(A1A2)?P(A1?A2)?P(A1) P(A1|A2)?P(A1A2)P(A1)0.55?? ?P(A2)1?0.37P(A2)9．已知工厂A、B生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由A、B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，求：

（1） 该产品是次品的概率；

（2） 若取到的是次品，那么该产品是B工厂的概率 。

解：设C表示“取到的产品是次品”；A“取到的产品是A工厂的”； 。则 B“取到的产品是B工厂的”

（1） 取到的产品是次品的概率为

P(C)?P(A)P(C|A)?P(B)P(C|B)

?6014027???? 100100100100500（2）若取到的是次品，那么该产品是B工厂的概率为

P(B|C)?P(BC)P(B)P(C|B)?

P(C)P(A)P(C|A)?P(B)P(C|B)402?4 ?100100?

77500 10．有两个口袋，甲袋中盛有4个白球，2个黑球；乙袋中盛有2个白球，4个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求从乙袋中取出的是白球的概率。

解：设A表示：“由甲袋取出的球是白球”； B表示：“由甲袋取出的球是黑球”； C表示：“从乙袋取出的球是白球”。则 P(C)?P(A)P(C|A)?P(B)P(C|B) ?42?1228???? 66?166?12111．设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有2%、4%、5%的次品，现从箱中任取一件产品，求：

（1）取到的是次品的概率；

（2）若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。

解：设事件A表示：“取到的产品是次品”；事件Ai表示：“取到的产品是第i家工厂生产的”（i?1，2，3）。 则A1?A2?A3??，且P(Ai)?0，A1、A2、A3两两互不相容，

（1） 由全概率公式得

P(A)??P(Ai)?P(A|Ai)?i?1312141513?????? 210041004100400 （2）由贝叶斯公式得

12?P(A1)P(A|A1)4 P(A1|A)=3 ?2100?

1313?P(Aj)P(A|Aj)j?140012．三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求：

（1）恰好取到不合格品的概率；

（2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。

解：设事件A表示：“取到的产品是不合格品”；事件Ai表示：“取到的产品是第i家工厂生产的”（i?1，2，3）。

则?Ai??，且P(Ai)?0，A1、A2、A3两两互不相容，由全概率公式得

i?13 （1）P(A)??P(Ai)?P(A|Ai)

i?13 ?405254352??????37/1000 100100100100100100 （2）由贝叶斯公式得 P(A2|A)=

P(A2)P(A|A2)?P(Aj)P(A|Aj)j?13

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