《概率论与数理统计》课程练习计算题(3)

?0，?1/8，??F(x)?P{X?x}??4/8，?7/8，???1，x?00?x?11?x?2

2?x?3x?3 3．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都是2/5。设X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数。 解：由题意知X服从二项分布B(3，)，从而 P{X?0}?(1?)? P{X?1}?C3?212525327 1252254?(1?)2? 55125252 P{X?2}?C3?()?(1?)? P{X?3}?()?即X的概率分布列为

2536 1252538 125 X 0 1 2 3

pk 27/125 54/125 36/125 8/125 由分布函数定义得

?0，?27/125，?? F(x)?P{X?x}??81/125，?117/125，???1，x?00?x?11?x?2

2?x?3x?34．一台设备有三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为0.10，0.20，0.30，假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的概率分布。 解：设：Ai(i?1“部件i需要调整”。 ，2，3)表示：

P{X?0}?P(A1A2A3)?0.9?0.8?0.7?0.504；

P{X?1}?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?0.398； P{X?2}?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?0.092

P{X?3}?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?0.006 故X的概率分布列为

X 0 1 2 3

pk 0.504 0.398 0.092 0.006

5．已知某种型号的雷管在一定刺激下发火率为4/5，今独立重复地作刺激试验，直到发火为止，则消耗的雷管数X是一离散型随机变量，求X的概率分布。

解：X的可能取值为1，2，3，?。 记Ak表示“第k次试验雷管发火”则Ak表示“第

k次试验雷管不发火”从而得

p1?P{X?1}?P(A1)?4 5 p2?P{X?2}?P(A1A2)?P(A1)P(A2)?14? 55152 p3?P{X?3}?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?()?4 5

14

pk?P{X?k}?P(A1A2?Ak?1Ak)?()k?1?5541k?1?()55??依次类推，得消耗的雷管数X的概率分布为 P{X?k}?（k?1，2，3，?）

???Acosx，x?6．设随机变量X的概率密度为f(x)??2，求：

?其它?0，（1）系数A；（2）X的分布函数；（3）X落在区间(??，)内的概率。

44? 解：连续型随机变量X的概率密度必须满足归一性，因此由归一性及定义可求出系数A及

X的分布函数，至于（3）可由X的分布函数求得。

（1）由归一性， 解得A?1/2。

（2）由连续型随机变量的定义知X的分布函数为

??????f(x)dx??2?Acosxdx?2A?1

?2 F(x)? 当x?? 当??xx??f(u)du

?2时，F(x)????f(u)du=0；

?2?x??2时，

F(x)??x??f(u)du??0dx???2????111cosxdx??sinx ?2222x 当x?

?2

时，

F(x)??x??f(u)du??2????x10dx???cosxdx???0dx?1

?2222?故X的分布函数为

0，x???/2?? F(x)??(1?sinx)/2，??/2?x??/2

?1，x??/2，? （3）所求概率为 P{?????2?X?}?F()?F(?)? 44442 7．设随机变量X的分布函数为 F(x)?a?求：（1）系数a；

（2）X落在区间（－1，1）中的概率；

（3）随机变量X的概率密度。（提示：Arctanx为反正切函数） 解：（1）由F(??)?a? F(x)?1?Arctanx (???x???)

?()?1，解得a?。故得

?221?111?Arctanx (???x???) 2?11?11?1???[??(?)]? 2?42?42（2）P{?1?X?1}?F(1)?F(?1) ? （3）所求概率密度为 f(x)?F?(x)?(?121??Arctanx)??1?(1?x)2 (???x???)

8．设随机变量X的概率分布为f(x)???Ax，0?x?1?0，其它，以Y表示对X的三次独立重

复观察中事件{X?解：由归一性

1}出现的次数，试确定常数A，并求概率P{Y?2}。 2A? 1????f(x)dx??0Axdx2所以A=2。即

??1?2x，0?x?1 f(x)??

0，其它?11111 P{X?}?F()??2f(x)dx??22xdx ???0224所以Y~B(3，)，从而 P{Y?2}=C3()?21414239? 4649．在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等1，2，3路汽车，设每个人等车时间（单位：分钟）均服从[0，5]上的均匀分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率。

解 ：设X表示每个人等车时间，且X服从[0，5]上的均匀分布，其概率分布为 …… 此处隐藏：265字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……