《概率论与数理统计》课程练习计算题(5)

p21?P{X?2，Y?1}? p22?P{X?2，Y?2}?于是（X，Y）的概率分布表为

212?? 339224?? 339 Y X 1 2 1 1/9 2/9

2 2/9 4/9 （2）关于X和Y的边缘概率分布分别为

X 1 2 Y 1 2 pi? 1/3 2/3 p?j 1/3 2/3

（3）X和Y相互独立。因为?i,j有pi??p?j?pij

12．一袋中装有3个球，分别标有号码1、2、3，从这袋中任取一球，不放回袋中，再任取一球。用X、Y分别表示第一次、第二次取得的球上的号码，试求：

（1）随机向量（X，Y）的概率分布；

（2）(X，Y)关于X和关于Y的边缘概率分布； （3）X和Y是否相互独立？为什么？

解：（1）(X，Y)的取值为(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，由概率乘法公式可得

p12?P{X?1，Y?2}?p13?P{X?1，Y?3}?111?? 326111?? 326同理可得 p21?p23?p31?p32?1/6

此外事件{X?1，Y?1}，{X?3，Y?3}，{X?2，Y?2}都是不可能事件，所以

p11?p33?p22?0,于是（X，Y）的概率分布表为

Y X 1 2 3 1 0 1/6 1/6 2 1/6 0 1/6 3 1/6 1/6 0 （2）（X，Y）关于X的边缘概率分布

X 1 2 3 pi? 1/3 1/3 1/3 （X，Y）关于Y的边缘概率分布 Y 1 2 3

p?j 1/3 1/3 1/3 （3）X和Y不相互独立，由于Pi??P?j?Pij。

13．一口袋中装有四只球，分别标有数字1，1，2，3。现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以X、Y分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：

（1）X和Y的联合概率分布及关于X和关于Y边缘分布； （2）X与Y是否独立？为什么？ 解：（1）（X，Y）的概率分布表为

Y X 1 2 3 1 1/6 1/6 1/6 2 1/6 0 1/12 3 1/6 1/12 0 X的边缘概率分布为

X 1 2 3 pi? 1/2 1/4 1/4

Y的边缘概率分布为

Y 1 2 3 p?j 1/2 1/4 1/4

（2）X与Y不独立，由于

P{X?1，Y?1}?P{X?1}P{Y?1}

214．设G为由抛物线y?x和y?x所围成区域，(X，Y)在区域G上服从均匀分布，试

求：（1）X、Y的联合概率密度及边缘概率密度；

（2）判定随机变量X与Y是否相互独立。

解：如图所示，G的面积为 y A??10(x?x2)dx?12 y?x 6因此均匀分布定义得X、Y的联合概率密度为 o 1 x

?6,(x,y)?G f(x,y)??

0,其他?而

fX(x)? fY(y)???x???f(x,y)dy??26dy?6(x?x2)，0?x?1

x?????f(x,y)dx??6dx?6(y?y)，0?y?1

yy所以关于X和关于Y的边缘分布密度分别为

?6(x?x2),0?x?1 fX(x)??

0,其他? fY(y)???6(y?y),0?y?1

0,其他?（2）由于fX(x)fY(y)?f(x,y)，故随机变量X与Y不相互独立。 15．设二维随机变量（X，Y）的概率分布为

?e?y,0?x?y f(x,y)??

0,其它?求：（1）随机变量X的密度函数fX(x)； （2）概率P{X?Y?1}。

解：（1）x?0时，fX(x)=0；

x?0时，fX(x)=?f(x,y)dy??e?ydy?e?x

??x?????e?x，0?x故随机变量X的密度函数fX(x)=?

?0，x?0 （2）P{X?Y?1}?X?Y?1???1f(x,y)dxdy??dx??121201?xxe?ydy

?e?1?2e

16．设随机向量(X，Y)的概率密度为

f(x,y)???A,0?x?1,0?y?x

其他?0,试求:（1）常数A；（2）关于X、Y的边缘概率密度。

解：（1）由归一性 1???????f????(x,y)dxdy??0?0Adydx?1xA 2所以A?2。

X、Y的联合概率密度为

f(x,y)???2,0?x?1,0?y?x

0,其他? （2）关于X、Y的边缘概率密度为 fX(x)??f(x,y)dy??2dy?2x??0即

??x(0?x?1)

?2x,0?x?1 fX(x)??其它?0同理可求得关于Y的边缘分布密度为

fY(y)???2(1?y),0?y?1

0,其他? 17．设随机变量（X，Y）具有概率密度

?Ce?(x?y),x?0,y?0 f(x,y)??，

其它?0,求（1）常数C；（2）边缘分布密度。 解：（1）由于 1=

??Ce????????f(x，y)dxdy?1，故

dxdy?C?edx?e?ydy?C

00???x????0?????(x?y)0所以C=1，即

?e?(x?y)，x?0,y?0 f(x,y)??

0，其他?（2）fX(x)??f(x,y)dy????0????e?(x?y)dy?e?x x?0，即

??e?x,x?0 fX(x)??

??0，其他fY(y)????f(x,y)dx??0????e?(x?y)dx?e?y y?0，即

??e?y,y?0 fY(y)??

??0，其他 18．设X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X，Y)联合分布律及关于X和关于

Y的边缘分布律的部分值，试将其余数值填入表中的空白处。

X Y x1 x2 y1 1/12 1/6 y2 1/8 y3 P{X?xi}?pi? 1 P{Y?yj}?p?j 解：

X Y x1 x2 y1 1/12 1/12 1/6 y2 1/8 1/8 1/4 y3 7/24 7/24 7/12 P{X?xi}?pi? 1/2 1/2 1 P{Y?yj}?p?j

第三章 随机变量的数字特征

三、解答题

?1?x，?1?x?0? 1．设随机变量X~f(x)??A?x，0?x?1，求：

?0，其它?（1） 常数

A；（2）EX；（3）DX。

解：（1）由归一性 1=???01f(x)dx?(1?x)dx?(A?x)dx?A ?????10