《概率论与数理统计》课程练习计算题(6)

从而得，A?1；

（2）EX=???xf(x)dx ??01x(1?x)dx??0x?(1?x)dx?0 ?1 ??（3）由于

EX2=???x2f(x)dx

???1x(1?x)dx??0x(1?x)dx?1/6 于是

0212??DX?EX2?(EX)2?1 6?x，当0?x?1?2．设X的分布密度为f(x)??2?x，当1?x?2，求：数学期望EX和方差DX。

?0，其它? 解：EX=

2?????xf(x)dx??0x?xdx??1x?(2?x)dx?1 x2f(x)dx??x2?xdx??x2(2?x)dx?011212 EX=于是

?????7 6 DX?EX?(EX)?221 6 3．已知随机变量X的分布列如下，

X 0 1 2 Pk 0.3 0.2 0.5 试求：（1）EX、DX；（2）E(X?1)2；（3）X的分布函数。

解： （1）EX?2k?1?xkpk3?0?0.3?1?0.2?2?0.5?1.2

22 EX?0?0.3?1?0.2?2?0.5?2.2 DX?EX2?(EX)2?2.2?1.22?0.76 （2）经计算得(X?1)2??Y的概率分布列

Y 1 0 Pk 0.8 0.2 EY??ykpk?1?0.8?0?0.2?0.8

k?12?0，x?0?0.3，0?x?1? （3） F(x)??

0.5，1?x?2???1，2?x4．设X、Y的概率分布为

?1?4e?4y，y?0,?，1?x?5, ?(x)??4 ?(y)??

0，y?0,???0，其它,求：E(X?Y)和E(2X?3Y2)。

解：由于X在有限区间[1，5]上服从均匀分布，所以EX?为4的指数分布，所以EY=

5?1?3；又由于Y服从参数211、DY?， 因此由数学期望性质2、性质3及重要公式得 41611?3 44 E(X?Y)?EX?EY?3?E(2X?3Y2)?2E(X)?3E(Y2)

?6?3(DY?(EY)2)?6?5．已知r?vX、Y分别服从正态分布N(0,35?5。 8832)和N(2,42)，且X与Y的相关系数

?XY??1/2，设Z?X/3?Y/2，求：

（1）数学期望EZ，方差DZ；

（2）X与Z的相关系数?XZ。

解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得 EZ?E(XYXY11?)?E()?E()??0??2?1 323232 DZ?D(XYXYXY?)?D()?D()?2Cov(，) 323232 ? ?132132DX??32?11DY?2???XYDXDY 23221112?4?2???(?)?3?4?1?4?2?3 232221111X?Y)?Cov(X,X)?Cov(X,Y) 323211 （2）Cov(X，Z)?Cov(X， ?11DX??XYDXDY?0 32从而有X与Z的相关系数?XZ?Cov(X,Z)?0

DXDZ 6．设随机变量X、Y独立同服从参数为?泊松分布，U?2X?Y，V?2X?Y，求U与V的相关系数?UV。

解：由条件X、Y独立同服从参数为?泊松分布，所以EX?EY??,DX?DY??，因此

EY?EX?DX?(EX)???? EU?2EX?EY?3? EV?2EX?EY??

DU?DV?4DX?DY?4????5?

EUV?E(4X?Y)?4EX?EY?3??3? Cov(U，V)?EUV?EUEV?3??3?2?3?2?3? 于是U与V的相关系数?UV?222222222Cov(U，V)DUDV?3?3? 5?57．设一部机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日内无故障可获利8万元，发生一次故障仍获利4万元，发生两次故障获利0元，发生三次或三次以上要亏损2万元，求一周内期望利润是多少。

解：设Y表示生产利润,X表示每周发生故障的次数，则Y是X的函数，而

X~B(5，0.2)，其概率分布为P{X?k}?C5kpkq5?k

Y可能取值为－2，0，4，8。

P{Y?8}?P{X?0}?0.85?45/55?1024/3125

1 P{Y?4}?P{X?1}?C5?0.2?0.84?5?44/55?1280/3125

2 P{Y?0}?P{X?2}?C5?02.2?08.3?10?43/55?640/3125

P{Y??2}?P{X?3}?1?P{X?3}?181/55?181/3125 EY?8?1024128064018112950?4??0??(?2)???4.144 31253125312531253125 8．设?与?独立同分布，已知?的概率分布为P{??i}?1/3(i?1，2，3)，又设（1）EX、EY；（2）随机变量X，Y的协方差。 X?max{?，?}，Y?min{?，?}。求： 解：（1）(X，Y)的概率分布为

Y X 1 2 3 1 1/9 2/9 2/9 2 0 1/9 2/9 3 0 0 1/9 关于X、Y的边缘概率分布分别为 …… 此处隐藏：196字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……