高三数学第二轮专题复习系列(6)-- 不等式(3)

点评：解决数学问题是对数学概念的理解要准确，不要以偏概全。 五、规律总结

1.几个重要的不等式：

a2?b2?a?b??a?b?c?abc ① ab≤?≤ ②≤???；

223????a?ba2?b22③如果a,b?R，则≥≥ab≥

1122?ab23

2.最值定理：当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和

有最小值。

3.如何正确选择综合法、分析法、反证法

（1）综合法常用于由已知推结论较易找到思路时．

（2）分析法常用于条件复杂，思考方向不明确，运用综合法较难证明时．

（3）单纯应用分析法证题并不多见，常常是用分析法找思路，用综合法写过程，因为综合法宜于表达，条理清晰．

（4）注意分析法的表述方法：“要证明?，只需证明?，因为?成立，所以?成立”，“为了证明?，只需证明?，即?，因此只需证明?”．

（5）在证明一些否定性命题，惟一性命题，或含有“至多”，“至少”等字句的命题时，正面证明较难，则考虑反证法，即“正难则反”．

（6）利用反证法证题时注意：①必须先否定结论，当结论的反面呈现多样性时，必须列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的．②反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．

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4．i的乘方规律：i2??1,i3??i,i4?1?? 5．特殊式的化简：(1?i)2?2i,(1?i)2??2i；六、能力突破：

例1若直线ax?by?2?0（a?0，b?0）被圆x2?y2?2x?4y?1?0截得的弦长为4，则

A．

1?i1?i?i，??i 1?i1?i11?的最小值为 ab

D．

13 B．2 C．?2 42分析：找出a,b的关系后用基本不等式解决。

解析：圆的直径是4，说明直线过圆心??1,2?，

3?22 2故

111?1??11?3ba3a?b?1，???a?b?????????2，选C。 2ab?2ab2a2b2???点评：本题所用的方法称为“常数代换法”，是使用基本不等式求最值时所常用的方

法，要注意体会。

反思：高考中对基本不等式的考查主要就集中在用其求最值上，在复习中要注意这个特点。

例2 已知数列{an}满足a1?2，an?1?2(1?)2an，n?Ν． （1）求数列{an}的通项公式；

nan（2）设bn?，求?bi；

ni?1nn17（3）设cn?，求证?ci＜．

an24i?11n*分析：（1）通过对递推式的变换将问题转化为两类基本数列解决；（2）求出数列的通项公式后，结合数列?bn?和?cn?的特点探求解决的方法。

解析：（1）由已知，得∴

an?1an?an??2?，∴首项为a1?2． ?2?是公比为2的等比数列，

(n?1)2n2?n?an2nn?1，a?n2． ?2?2n2nnann （2）bn??n2． ?bi=1?21?2?22?3?23???n?2n， ①

ni?1 =

2?bi= 1?22?2?23???(n?1)?2n?n?2n?1， ②

i?1n①-②，得 -?bi=21?22?23???2n?n?2n?1，

i?1n∴?bi=2(1?2n)?n?2n?1=(n?1)2n?1?2．

i?1nnn?1n?1111?＜=． ?n=

ann2n(n?1)2nn(n?1)2n(n?1)2n?1n2nnnn11111??(i?1?i) ∴?ci=c1?c2??c3??ci=??2824i?42(i?1)2ii?4i?1（3）当n?2时，cn?1111117＜． ????28243?23n2n24第7页（共19页）

点评：解决递推数列的基本方法就是通过变换递推式将其转化为两类基本数列，本题第（1）问也可采用迭代法来完成，还可使用数学归纳法来实施；第（2）问是一个用“错位相减法”求数列的前n和问题； 第（3）问是将数列中的项放大后，将其拆为能“正负

3．则所提4i?111供的解法中，只须保留原来的两项，或者也可以直接将，从第3项起，放大为．解nnn?22相消”的方式解决的，本题是从第四项开始放大的，若将结论减弱为?ci＜

决数列类不等式时最容易出现的问题就是在放大的时候找不到恰当的“标准”，找不到11?“放大点”，本题考生即使找到了放缩关系式cn?，若从n?2就开始放

(n?1)2n?1n2nn111??n?1，这样就没有办法证明题目所要求的结论了，当考生碰22n2i?1到这种情况时，就要有调整“放大点”的意识。

反思：高考对递推数列的考查主要是能把所给的递推数列转化为两类基本数列的类型，新课标高考很注意数列的地位，往往把数列知识和函数、方程、不等式等知识相互综合，形成一个重在考查数学思想方法，检测考生综合数学素养的综合性解答题，2008年课标区的数列试题充分说明了这个特点。

七 高考风向标

考点1.一元二次不等式

例 （08年高考海南宁夏卷理6）已知a1?a2?a3?0，则使得(1?aix)2?1(i?1,2,3)大，结果是?ci?都成立的x取值范围是（ ）

A．（0，

n1） a1 B． （0，

2） a1 C． （0，

12） D． （0，） a3a3分析：本题考查一元二次不等式的解法。“(1?aix)2?1(i?1,2,3)都成立的x取值范围”

??1?a1x?2?1?2?本质上是一个不等式组??1?a2x??1的解集，由于这几个不等式结构一样，其中解集“最

?21?ax?1??3??小”的一个不等式的解集即是不等式组的解集。，

解析：(1?aix)2?1即ai2x2?2aix?0，即aix?aix?2??0，由于ai?0，这个不等式可以化为x?x???2ai?22，即，若对每个应最小，即ai应最大，也即是0?x??0?aiai?0?x?2，选A。 a1点评：把一元二次不等式解错，或是对“都成立”理解错误，都可能解错本题。 考点2. 简单的线性规划

?x?y?2≥0，??5x?y?10≤0，例2（08年高考山东卷文16）设x，y满足约束条件?则z?2x?y的最

?x≥0，?y≥0，?大值为 ．

分析：本题考查简单的线性规划问题。在线性规划问题中目标函数的最值一般是在可行域的顶点上取得，特殊情况下在可行域的边界上取得，即使是在可行域的边界上取得，也是

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在顶点处取得，故解答此类高考试题，找出可行域的顶点，直接代入目标函数式检验就可以得到问题的答案。

解析：约束条件是一个四边形区域，其四个顶点是?0,0?,?2,0?,?0,2?,?3,5?，根据目标函数取最值是在区域的顶点上（本题不会在边界上），检验知当x?3,y?5时，目标函数取最大值11。

点评：不了解二元一次不等式所表示的半平面的确定方法，画错可行域，或是算错可行域的顶点，或是把目标函数的最小值当成了最大值等。 考点3.基本不等式的应用

y2例3 （08年高考江苏卷11） 设x,y,z为正实数，满足x?2y?3z?0，则的最小值

xz是 。

分析：将三个字母消掉一个，将三元的问题转化为二元，用基本不等式探究问题的答案。

2x?3z?x?3z??x?3?9z?2x?9z?3?3，当且仅当y解析： y?，故?2xz4xz4z24x4z4x2x?3z时取等号。

2点评：本题在一个新的环境下考查利用基本不等式求最值，解题的关键是根据已知条件消掉目标式中的y，通过对目标式的变形，转化为考生所熟悉的使用基本不等式求最值的情景。 例4 （2008高考广东文17）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

购地总费用（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）

建筑总面积解析：根据题意，

平均综合费用y?560?48x?21600000225?560?48（x?）(x?10,x?Z)，由于

2000xx225225225?2x??30，等号 …… 此处隐藏：3099字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……